Question

El polinomio $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ tiene coeficientes reales, y $f(2i)=f(2+i)=0.$ ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ?

The polynomial $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ has real coefficients, and $f(2i)=f(2+i)=0.$ What is $a+b+c+d?$

$0$

$1$

$4$

$9$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Los coeficientes reales obligan a que los conjugados $-2i$ y $2-i$ también sean raíces.

Real coefficients force the conjugates $-2i$ and $2-i$ to be roots as well

Pista grande:

$f(x)=(x^2+4)(x^2-4x+5)$ ; la suma $a+b+c+d$ es igual a $f(1)-1$ .

$f(x)=(x^2+4)(x^2-4x+5)$ ; the sum $a+b+c+d$ equals $f(1)-1$

Solución:

Como $f$ tiene coeficientes reales, los conjugados $-2i$ y $2-i$ también son raíces. Por lo tanto $\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20. \end{gathered}$

Entonces $a+b+c+d=-4+9$ $-16+20$ $=9.$ De forma equivalente, $a+b+c+d=f(1)-1$ $=(1+4)(1+1)-1$ $=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $f$ has real coefficients, the conjugates $-2i$ and $2-i$ are also roots. Thus $\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20. \end{gathered}$

Then $a+b+c+d=-4+9$ $-16+20$ $=9.$ Equivalently, $a+b+c+d=f(1)-1$ $=(1+4)(1+1)-1$ $=9.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años