Question

Un camino de $16$ pasos debe ir de $(-4,-4)$ a $(4,4)$ , donde cada paso aumenta la coordenada $x$ o la coordenada $y$ en $1.$ ¿Cuántos de esos caminos permanecen fuera o sobre la frontera del cuadrado $-2\le x\le2,$ $-2\le y\le2$ en cada paso?

A $16$ -step path is to go from $(-4,-4)$ to $(4,4)$ with each step increasing either the $x$ -coordinate or the $y$ -coordinate by $1.$ How many such paths stay outside or on the boundary of the square $-2\le x\le2,$ $-2\le y\le2$ at each step?

$92$

$144$

$1568$

$1698$

$12{,}800$

Solución:

Cada paso aumenta $x+y$ en $1,$ que va de $-8$ a $8,$ así que cada camino pasa por exactamente un punto reticular con $x+y=0.$

Para permanecer fuera del cuadrado abierto, ese punto $(t,-t)$ debe cumplir $|t|\ge2,$ así que es uno de $(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).$

Por simetría, considera los tres puntos $(-4,4),(-3,3),(-2,2)$ y duplica. El número de caminos de $(-4,-4)$ a $(-(4-j),4-j)$ es $\binom{8}{j},$ y el número que continúa hasta $(4,4)$ es también $\binom{8}{j}.$

Por lo tanto, el total es $\begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Every step increases $x+y$ by $1,$ which runs from $-8$ to $8,$ so each path passes through exactly one lattice point with $x+y=0.$

To stay out of the open square, that point $(t,-t)$ must have $|t|\ge2,$ so it is one of $(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).$

By symmetry consider the three points $(-4,4),(-3,3),(-2,2)$ and double. The number of paths from $(-4,-4)$ to $(-(4-j),4-j)$ is $\binom{8}{j},$ and the number continuing on to $(4,4)$ is also $\binom{8}{j}.$

Therefore the total is $\begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años