Question

Los números $1, 2, 3, 4, 5$ se van a acomodar en un círculo. Un arreglo es malo si no es cierto que para cada $n$ desde $1$ hasta $15$ se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea $n.$ Los arreglos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos malos diferentes hay?

The numbers $1, 2, 3, 4, 5$ are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every $n$ from $1$ to $15$ one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to $n.$ Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Un solo número cubre las sumas $1$ hasta $5.$ Si un bloque consecutivo suma $n,$ los números restantes forman un bloque consecutivo que suma $15 - n,$ así que las sumas $10$ hasta $14$ también quedan cubiertas automáticamente. Por lo tanto un arreglo es malo solo si no logra producir $6$ o $7.$

Si no se puede formar $6$ , entonces $1$ y $5$ no son adyacentes, y al analizar los casos se fuerza el arreglo $14352.$ Si no se puede formar $7$ , entonces $2$ y $5$ no son adyacentes, lo que fuerza $23154.$

Estos son los únicos dos arreglos malos salvo rotación y reflexión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Any single number covers sums $1$ through $5.$ If a consecutive block sums to $n,$ the remaining numbers form a consecutive block summing to $15 - n,$ so sums $10$ through $14$ are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce $6$ or $7.$

If $6$ cannot be formed, then $1$ and $5$ are not adjacent, and working through the cases forces the arrangement $14352.$ If $7$ cannot be formed, then $2$ and $5$ are not adjacent, forcing $23154.$

These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años