Question

Los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ se van a acomodar en un círculo. Un arreglo es malo si no es cierto que para cada $n$ desde $1$ hasta $15$ se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea $n.$ Los arreglos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos malos diferentes hay?

The numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every $n$ from $1$ to $15$ one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to $n.$ Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:arreglos circulares conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Las sumas $1$ hasta $5$ siempre se pueden lograr con un solo número.

Sums $1$ through $5$ are always achievable with a single number

Pista grande:

Si un bloque consecutivo suma $n,$ su complemento suma $15-n,$ así que solo $6$ y $7$ pueden fallar.

If a consecutive block sums to $n,$ its complement sums to $15-n,$ so only $6$ and $7$ can fail

Solución:

Cualquier número por sí solo cubre las sumas de $1$ a $5.$ Si un bloque consecutivo suma $n,$ los números restantes forman un bloque consecutivo que suma $15 - n,$ así que también quedan cubiertas automáticamente las sumas de $10$ a $14$ . Por tanto, un arreglo es malo solo si no produce $6$ o $7.$

Si no se puede formar $6$ , podemos rotar y reflejar para que el orden sea $1bc5e.$ El par $\{b,c\}$ no puede ser $\{2,3\}$ ni $\{2,4\},$ así que $e=2;$ evitar el bloque $213$ obliga entonces a $14352.$ Si no se puede formar $7$ , escribimos el orden como $2bc5e.$ Ahora $\{b,c\}$ no puede ser $\{3,4\}$ ni $\{1,4\},$ así que $e=4,$ y evitar $421$ obliga a $23154.$

Estos son los únicos dos arreglos malos salvo rotación y reflexión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Any single number covers sums $1$ through $5.$ If a consecutive block sums to $n,$ the remaining numbers form a consecutive block summing to $15 - n,$ so sums $10$ through $14$ are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce $6$ or $7.$

If $6$ cannot be formed, rotate and reflect so the order is $1bc5e.$ The pair $\{b,c\}$ cannot be $\{2,3\}$ or $\{2,4\},$ so $e=2;$ avoiding the block $213$ then forces $14352.$ If $7$ cannot be formed, write the order as $2bc5e.$ Now $\{b,c\}$ cannot be $\{3,4\}$ or $\{1,4\},$ so $e=4,$ and avoiding $421$ forces $23154.$

These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años