Question

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $2$ . Se construye un semicírculo con diámetro $\overline{AB}$ dentro del cuadrado, y la tangente al semicírculo desde $C$ corta al lado $\overline{AD}$ en $E$ . ¿Cuál es la longitud de $\overline{CE}$ ?

Square $ABCD$ has side length $2.$ A semicircle with diameter $\overline{AB}$ is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from $C$ intersects side $\overline{AD}$ at $E.$ What is the length of $\overline{CE}?$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$\dfrac{5}{2}$

$5 - \sqrt{5}$

Solución:

Sea $F$ el punto donde $CE$ toca el semicírculo. Como $CB$ y $CF$ son ambas tangentes desde $C$ , tenemos $CF = CB = 2$ . De manera similar, con $x = AE$ , las tangentes desde $E$ dan $EF = EA = x$ .

Así que $CE = CF + FE = 2 + x.$ En el triángulo rectángulo $CDE,$ donde $CD = 2$ y $DE = 2 - x,$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

Al desarrollar se obtiene $8x = 4,$ así que $x = \tfrac12$ y $CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $F$ be the point where $CE$ touches the semicircle. Since $CB$ and $CF$ are both tangents from $C,$ we have $CF = CB = 2.$ Similarly, with $x = AE,$ the tangents from $E$ give $EF = EA = x.$

Thus $CE = CF + FE = 2 + x.$ In right triangle $CDE,$ where $CD = 2$ and $DE = 2 - x,$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

Expanding gives $8x = 4,$ so $x = \tfrac12$ and $CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años