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2004 AMC 12A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2004 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Las circunferencias A,A, B,B, y CC son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a la circunferencia D.D. Las circunferencias BB y CC son congruentes. La circunferencia AA tiene radio 11 y pasa por el centro de D.D. ¿Cuál es el radio de la circunferencia BB?

Circles A,A, B,B, and CC are externally tangent to each other and internally tangent to circle D.D. Circles BB and CC are congruent. Circle AA has radius 11 and passes through the center of D.D. What is the radius of circle B?B?

23\dfrac{2}{3}

32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

78\dfrac{7}{8}

89\dfrac{8}{9}

1+33\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}

Respuesta: D
Conceptos:circunferencias tangentesTeorema de Pitágorassistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:

Como AA pasa por el centro de DD y es tangente internamente, la circunferencia DD tiene radio 22.

Since AA passes through the center of DD and is internally tangent, circle DD has radius 22

Pista grande:

Coloca el centro de DD en el origen; usa los triángulos rectángulos formados por los centros y el eje de simetría.

Place the center of DD at the origin; use right triangles formed by the centers and the axis of symmetry

Solución:

La circunferencia AA tiene radio 11 y pasa por el centro de DD mientras es tangente internamente a D,D, así que DD tiene radio 2.2.

Coloca el centro de DD en el origen, con AA centrada en (−1,0).(-1, 0). Por simetría, BB tiene centro (x,y)(x, y) y radio r,r, con CC su imagen especular respecto al eje horizontal, así que las dos circunferencias congruentes se tocan sobre ese eje y y=r.y = r.

La tangencia interna a DD da x2+y2=(2−r)2,x^2 + y^2 = (2 - r)^2, y la tangencia externa a AA da (x+1)2+y2=(1+r)2.(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.

Restando y usando y=ry = r se obtiene x=23x = \tfrac23 y r=89.r = \tfrac89. El radio de la circunferencia BB es 89.\tfrac89.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Circle AA has radius 11 and passes through the center of DD while being internally tangent to D,D, so DD has radius 2.2.

Place the center of DD at the origin, with AA centered at (−1,0).(-1, 0). By symmetry, BB has center (x,y)(x, y) and radius r,r, with CC its mirror image across the horizontal axis, so the two congruent circles touch on that axis and y=r.y = r.

Internal tangency to DD gives x2+y2=(2−r)2,x^2 + y^2 = (2 - r)^2, and external tangency to AA gives (x+1)2+y2=(1+r)2.(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.

Subtracting and using y=ry = r yields x=23x = \tfrac23 and r=89.r = \tfrac89. The radius of circle BB is 89.\tfrac89.

Thus, the correct answer is D.

Problema 18#18
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