Question

Las circunferencias $A$ , $B$ y $C$ son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a la circunferencia $D$ . Las circunferencias $B$ y $C$ son congruentes. La circunferencia $A$ tiene radio $1$ y pasa por el centro de $D$ . ¿Cuál es el radio de la circunferencia $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ are externally tangent to each other and internally tangent to circle $D.$ Circles $B$ and $C$ are congruent. Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D.$ What is the radius of circle $B?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$

Solución:

La circunferencia $A$ tiene radio $1$ y pasa por el centro de $D$ mientras es tangente internamente a $D$ , así que $D$ tiene radio $2$ .

Coloca el centro de $D$ en el origen, con $A$ centrada en $(-1, 0)$ . Por simetría, $B$ tiene centro $(x, y)$ y radio $r$ , con $C$ su imagen especular respecto al eje horizontal, así que las dos circunferencias congruentes se tocan sobre ese eje y $y = r$ .

La tangencia interna a $D$ da $x^2 + y^2 = (2 - r)^2$ , y la tangencia externa a $A$ da $(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2$ .

Restando y usando $y = r$ se obtiene $x = \tfrac23$ y $r = \tfrac89$ . El radio de la circunferencia $B$ es $\tfrac89$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D$ while being internally tangent to $D,$ so $D$ has radius $2.$

Place the center of $D$ at the origin, with $A$ centered at $(-1, 0).$ By symmetry, $B$ has center $(x, y)$ and radius $r,$ with $C$ its mirror image across the horizontal axis, so the two congruent circles touch on that axis and $y = r.$

Internal tangency to $D$ gives $x^2 + y^2 = (2 - r)^2,$ and external tangency to $A$ gives $(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.$

Subtracting and using $y = r$ yields $x = \tfrac23$ and $r = \tfrac89.$ The radius of circle $B$ is $\tfrac89.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años