Question

Selecciona números $a$ y $b$ entre $0$ y $1$ de manera independiente y al azar, y sea $c$ su suma. Sean $A$ , $B$ y $C$ los resultados cuando $a$ , $b$ y $c$ , respectivamente, se redondean al entero más cercano. ¿Cuál es la probabilidad de que $A + B = C$ ?

Select numbers $a$ and $b$ between $0$ and $1$ independently and at random, and let $c$ be their sum. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the results when $a,$ $b,$ and $c,$ respectively, are rounded to the nearest integer. What is the probability that $A + B = C?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Solución:

Representa las elecciones como un punto $(a, b)$ en el cuadrado unitario. Cada uno de $a$ y $b$ se redondea a $0$ si está por debajo de $\tfrac12$ y a $1$ en caso contrario, mientras que $c = a + b$ se redondea según $\tfrac12$ y $\tfrac32.$

La ecuación $A + B = C$ se cumple en estas regiones:

si $a + b \lt \tfrac12$ entonces $A = B = C = 0;$ si exactamente uno de $a, b$ es al menos $\tfrac12$ y $a + b \lt \tfrac32$ entonces esa variable se redondea a $1 = C;$ y si $a + b \ge \tfrac32$ entonces $A = B = 1$ y $C = 2.$

Estas regiones consisten en dos triángulos de esquina de área $\tfrac18$ cada uno y dos franjas centrales, con área combinada $\tfrac34$ . Como el cuadrado tiene área $1$ , la probabilidad es $\tfrac34$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Represent the choices as a point $(a, b)$ in the unit square. Each of $a$ and $b$ rounds to $0$ if below $\tfrac12$ and to $1$ otherwise, while $c = a + b$ rounds based on $\tfrac12$ and $\tfrac32.$

The equation $A + B = C$ holds in these regions:

if $a + b \lt \tfrac12$ then $A = B = C = 0;$ if exactly one of $a, b$ is at least $\tfrac12$ and $a + b \lt \tfrac32$ then that variable rounds to $1 = C;$ and if $a + b \ge \tfrac32$ then $A = B = 1$ and $C = 2.$

These regions consist of two corner triangles of area $\tfrac18$ each and two central strips, with combined area $\tfrac34.$ Since the square has area $1,$ the probability is $\tfrac34.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años