Question

Selecciona números $a$ y $b$ entre $0$ y $1$ de manera independiente y al azar, y sea $c$ su suma. Sean $A,$ $B,$ y $C$ los resultados cuando $a,$ $b,$ y $c,$ respectivamente, se redondean al entero más cercano. ¿Cuál es la probabilidad de que $A + B = C$ ?

Select numbers $a$ and $b$ between $0$ and $1$ independently and at random, and let $c$ be their sum. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the results when $a,$ $b,$ and $c,$ respectively, are rounded to the nearest integer. What is the probability that $A + B = C?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Modela $(a, b)$ como un punto aleatorio en el cuadrado unitario y divide según si cada uno de $a, b$ está por debajo de $\tfrac12$ .

Model $(a, b)$ as a random point in the unit square and split by whether each of $a, b$ is below $\tfrac12$

Pista grande:

La condición falla solo cuando $a, b \ge \tfrac12$ pero $a + b \lt \tfrac32,$ o $a, b \lt \tfrac12$ pero $a + b \ge \tfrac12$ .

The condition fails only when $a, b \ge \tfrac12$ but $a + b \lt \tfrac32,$ or $a, b \lt \tfrac12$ but $a + b \ge \tfrac12$

Solución:

Representemos las elecciones como un punto $(a, b)$ del cuadrado unitario. Cada uno de $a$ y $b$ se redondea a $0$ si es menor que $\tfrac12$ , y a $1$ en caso contrario, mientras que $c = a + b$ se redondea según $\tfrac12$ y $\tfrac32.$

La ecuación falla exactamente en dos regiones. Si $a, b \lt \tfrac12,$ falla cuando $a + b \ge \tfrac12;$ este es un triángulo rectángulo de área $\tfrac18.$ Si $a, b \ge \tfrac12,$ falla cuando $a + b \lt \tfrac32;$ este es otro triángulo rectángulo de área $\tfrac18.$ Cuando exactamente uno de $a, b$ es al menos $\tfrac12,$ la ecuación siempre se cumple.

Así, la probabilidad de que falle es $\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,$ y la probabilidad pedida es $1 - \tfrac14 = \tfrac34.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Represent the choices as a point $(a, b)$ in the unit square. Each of $a$ and $b$ rounds to $0$ if below $\tfrac12$ and to $1$ otherwise, while $c = a + b$ rounds based on $\tfrac12$ and $\tfrac32.$

The equation fails in exactly two regions. If $a, b \lt \tfrac12,$ it fails when $a + b \ge \tfrac12;$ this is a right triangle of area $\tfrac18.$ If $a, b \ge \tfrac12,$ it fails when $a + b \lt \tfrac32;$ this is another right triangle of area $\tfrac18.$ When exactly one of $a, b$ is at least $\tfrac12,$ the equation always holds.

Thus the failure probability is $\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,$ so the requested probability is $1 - \tfrac14 = \tfrac34.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años