Question

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + x + 1,$ el residuo es $x + 2,$ y cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + 1,$ el residuo es $2x + 1.$ Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + x + 1,$ the remainder is $x + 2,$ and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + 1,$ the remainder is $2x + 1.$ There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?

$10$

$13$

$19$

$20$

$23$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

El polinomio de menor grado es cúbico; escríbelo como $P(x) = x + 2$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q)$ .

The least-degree polynomial is a cubic; write $P(x) = x + 2$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q)$

Pista grande:

Reduce esa expresión módulo $x^2 + 1$ usando $x^2 \equiv -1,$ e iguálala a $2x + 1$ .

Reduce that expression modulo $x^2 + 1$ using $x^2 \equiv -1,$ and match it to $2x + 1$

Solución:

Ningún polinomio lineal puede tener los dos residuos distintos. Si $P(x)=ax^2+bx+c$ fuera cuadrático, al comparar sus residuos se obtendrían simultáneamente $b-a=1,\ c-a=2$ y $b=2,\ c-a=1,$ una contradicción. Por tanto, el menor grado posible es $3.$ Escribamos $P(x) = (x + 2)$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q),$ que tiene residuo $x + 2$ al dividir entre $x^2 + x + 1.$

Al reducir módulo $x^2 + 1$ (de modo que $x^2 \equiv -1$ ) se obtiene el residuo $(q + 1)x + (2 - p).$ Al igualarlo a $2x + 1$ , se obtiene $q = 1$ y $p = 1.$

Entonces $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3,$ y la suma de los cuadrados de los coeficientes es $1 + 4 + 9 + 9 = 23.$

Así, la respuesta correcta es E.

No linear polynomial can have the two different remainders. If $P(x)=ax^2+bx+c$ were quadratic, comparing its remainders would give both $b-a=1,\ c-a=2$ and $b=2,\ c-a=1,$ a contradiction. Thus the least possible degree is $3.$ Write $P(x) = (x + 2)$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q),$ which has remainder $x + 2$ upon division by $x^2 + x + 1.$

Reducing modulo $x^2 + 1$ (so $x^2 \equiv -1$ ) gives remainder $(q + 1)x + (2 - p).$ Setting this equal to $2x + 1$ gives $q = 1$ and $p = 1.$

Then $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3,$ and the sum of the squares of the coefficients is $1 + 4 + 9 + 9 = 23.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12B Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años