Question

¿Cuántos pares ordenados $(a,b)$ tales que $a$ es un número real positivo y $b$ es un entero entre $2$ y $200,$ inclusive, satisfacen la ecuación $(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})$ ?

How many ordered pairs $(a,b)$ such that $a$ is a positive real number and $b$ is an integer between $2$ and $200,$ inclusive, satisfy the equation $(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})?$

$198$

$199$

$398$

$399$

$597$

Solución:

Sea $u=\log_b a.$ Como $\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,$ la ecuación es $u^{2017}=2017u,$ así que $u=0$ o $u^{2016}=2017.$

Si $u=0,$ entonces $a=1,$ válido para cada una de las $199$ bases. Si $u^{2016}=2017,$ entonces $u=\pm2017^{1/2016},$ lo que da $2$ valores de $a$ para cada base, es decir, $2\cdot199=398$ pares.

En total hay $199+398=597$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $u=\log_b a.$ Since $\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,$ the equation is $u^{2017}=2017u,$ so $u=0$ or $u^{2016}=2017.$

If $u=0,$ then $a=1,$ valid for every one of the $199$ bases. If $u^{2016}=2017,$ then $u=\pm2017^{1/2016},$ giving $2$ values of $a$ for each base, i.e. $2\cdot199=398$ pairs.

In total there are $199+398=597$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años