Question

En el plano $xy$ , ¿cuál es la longitud del camino más corto de $(0,0)$ a $(12,16)$ que no entra en el círculo $(x-6)^2+(y-8)^2=25$ ?

In the $xy$ -plane, what is the length of the shortest path from $(0,0)$ to $(12,16)$ that does not go inside the circle $(x-6)^2+(y-8)^2=25?$

$10\sqrt3$

$10\sqrt5$

$10\sqrt3+\frac{5\pi}{3}$

$\frac{40\sqrt3}{3}$

$10+5\pi$

Respuesta: C

Conceptos:shortest paths tangent lengths arc length

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

El centro del círculo es el punto medio de los dos extremos

The circle’s center is the midpoint of the two endpoints

Pista grande:

El camino permitido más corto consta de dos segmentos tangentes y el arco menor entre sus puntos de tangencia

The shortest permitted path consists of two tangent segments and the shorter arc between their tangency points

Solución:

Cada extremo está a $10$ unidades del centro del círculo, así que cada segmento tangente tiene longitud $\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$ En el triángulo rectángulo de un punto de tangencia, el ángulo en el centro mide $60^\circ.$ Como los rayos hacia los extremos son opuestos, el arco menor intermedio subtiende $180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,$ por lo que su longitud es $\frac{5\pi}{3}.$ El total es $10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},$ y la respuesta correcta es C.

Each endpoint is $10$ units from the circle’s center, so each tangent segment has length $\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$ In the right triangle at a tangency point, the angle at the center is $60^\circ.$ Since the endpoint rays are opposite, the intervening minor arc subtends $180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,$ so its length is $\frac{5\pi}{3}.$ The total is $10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},$ and the correct answer is C.

1996 AMC 12 Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años