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1974 AMC 12 Problema 20

Intenta el Problema 20 del 1974 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1974 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Sea T=13−8−18−7+17−6−16−5+15−2; \begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned} entonces

Let T=13−8−18−7+17−6−16−5+15−2; \begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned} then

T<1T\lt1

T=1T=1

1<T<21\lt T\lt2

T>2T\gt2

T=1(3−8)(8−7)(7−6)⋅(6−5)(5−2)\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}

Respuesta: D
Conceptos:racionalización del denominadortelescópica
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:

Racionaliza cada denominador por separado

Rationalize each denominator separately

Pista grande:

Cada denominador es una diferencia de raíces cuadradas cuyos cuadrados difieren en 11

Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by 11

Solución:

Al racionalizar los cinco términos se obtiene T=(3+8)−(8+7)+(7+6)−(6+5)+(5+2)=5. \begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned} Por tanto, T>2.T\gt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rationalizing the five terms gives T=(3+8)−(8+7)+(7+6)−(6+5)+(5+2)=5. \begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned} Thus T>2.T\gt2.

Therefore, the correct answer is D.

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