Question

Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de $n$ lados están en progresión aritmética. Si la diferencia común es $5^\circ$ y el ángulo mayor es $160^\circ,$ entonces $n$ es igual a:

The measures of the interior angles of a convex polygon of $n$ sides are in arithmetic progression. If the common difference is $5^\circ$ and the largest angle is $160^\circ,$ then $n$ equals:

$9$

$10$

$12$

$16$

$32$

Respuesta: A

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética cuadrática

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Expresa el ángulo menor como $160-5(n-1)$

Write the smallest angle as $160-5(n-1)$

Pista grande:

Iguala la suma de la progresión aritmética a $180(n-2)$

Equate the arithmetic-series sum to $180(n-2)$

Solución:

El ángulo menor es $160-5(n-1).$ La suma de los ángulos es $\frac n2$ multiplicado por $320-5(n-1),$ y es igual a $180(n-2).$ Esto se simplifica a $\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}$ Por tanto, $n=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The smallest angle is $160-5(n-1).$ The angle sum is $\frac n2$ times $320-5(n-1),$ and it equals $180(n-2).$ This simplifies to $\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}$ Thus $n=9.$

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años