Question

Se muestra parte de una “estrella regular de $n$ puntas”. Es un polígono simple cerrado en el cual las $2n$ aristas son congruentes, los ángulos $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ son congruentes y los ángulos $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ son congruentes. Si el ángulo agudo en $A_1$ mide $10^\circ$ menos que el ángulo agudo en $B_1,$ entonces $n=$

Part of an “ $n$ -pointed regular star” is shown. It is a simple closed polygon in which all $2n$ edges are congruent, angles $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ are congruent, and angles $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ are congruent. If the acute angle at $A_1$ is $10^\circ$ less than the acute angle at $B_1,$ then $n=$

$12$

$18$

$24$

$36$

$60$

Respuesta: D

Conceptos:polygon angle sum concave polygon regular star

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sean los ángulos agudos en los vértices de tipo $A$ y $B$ iguales a $\alpha$ y $\beta$ , respectivamente

Let the acute angles at the $A$ - and $B$ -vertices be $\alpha$ and $\beta$

Pista grande:

En cada vértice entrante de tipo $B$ , el ángulo interior del polígono es $360^\circ-\beta$

At each inward $B$ -vertex, the polygon’s interior angle is $360^\circ-\beta$

Solución:

Sean $\alpha$ y $\beta$ los ángulos agudos en las puntas y las muescas, respectivamente, de modo que $\beta-\alpha=10^\circ.$ El polígono de $2n$ lados tiene $n$ ángulos interiores $\alpha$ y $n$ ángulos interiores reflejos $360^\circ-\beta.$ Por tanto, $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}$ Al sustituir $\beta-\alpha=10^\circ$ se obtiene $350n=360n-360,$ así que $n=36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the acute angles at the tips and notches be $\alpha$ and $\beta,$ respectively, so $\beta-\alpha=10^\circ.$ The $2n$ -gon has $n$ interior angles $\alpha$ and $n$ reflex interior angles $360^\circ-\beta.$ Therefore $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}$ Substituting $\beta-\alpha=10^\circ$ gives $350n=360n-360,$ so $n=36.$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años