Soluciones del 1992 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $3(4x+5\pi)=P,$ entonces $6(8x+10\pi)=$

If $3(4x+5\pi)=P,$ then $6(8x+10\pi)=$

$2P$

$4P$

$6P$

$8P$

$18P$

Conceptos:algebraic scaling propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Compara $8x+10\pi$ con $4x+5\pi$

Compare $8x+10\pi$ with $4x+5\pi$

Pista grande:

Ten en cuenta por separado el cambio dentro de los paréntesis y el cambio en el coeficiente exterior

Account separately for the change inside the parentheses and the change in the outside coefficient

Solución:

Tenemos $8x+10\pi=2(4x+5\pi),$ de modo que $\begin{gathered} 6(8x+10\pi)\\ {}=12(4x+5\pi)\\ {}=4\bigl[3(4x+5\pi)\bigr]\\ {}=4P. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We have $8x+10\pi=2(4x+5\pi),$ so $\begin{gathered} 6(8x+10\pi)\\ {}=12(4x+5\pi)\\ {}=4\bigl[3(4x+5\pi)\bigr]\\ {}=4P. \end{gathered}$

Thus the correct answer is B.

2.

Una urna contiene monedas y cuentas, todas de plata o de oro. El veinte por ciento de los objetos de la urna son cuentas. El cuarenta por ciento de las monedas de la urna son de plata. ¿Qué porcentaje de los objetos de la urna son monedas de oro?

An urn is filled with coins and beads, all of which are either silver or gold. Twenty percent of the objects in the urn are beads. Forty percent of the coins in the urn are silver. What percent of the objects in the urn are gold coins?

$40\%$

$48\%$

$52\%$

$60\%$

$80\%$

Conceptos:percent complementary percentage

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Primero halla el porcentaje de todos los objetos que son monedas

First find the percent of all objects that are coins

Pista grande:

Entre esas monedas, usa el complemento del porcentaje de monedas de plata

Of those coins, use the complement of the silver percentage

Solución:

Las monedas constituyen el $80\%$ de los objetos, y el $60\%$ de las monedas son de oro. Por tanto, las monedas de oro constituyen $0.80\cdot0.60=0.48=48\%$ de todos los objetos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Coins make up $80\%$ of the objects, and $60\%$ of the coins are gold. Thus gold coins make up $0.80\cdot0.60=0.48=48\%$ of all the objects.

Thus the correct answer is B.

3.

Si $m\gt0$ y los puntos $(m,3)$ y $(1,m)$ están en una recta de pendiente $m,$ entonces $m=$

If $m\gt0$ and the points $(m,3)$ and $(1,m)$ lie on a line with slope $m,$ then $m=$

$1$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

Conceptos:slope formula quadratic equation

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe la pendiente entre los dos puntos dados

Write the slope between the two given points

Pista grande:

Iguala $\frac{m-3}{1-m}=m$ y usa la condición de positividad

Set $\frac{m-3}{1-m}=m$ and use the positivity condition

Solución:

La condición sobre la pendiente da $\frac{m-3}{1-m}=m.$ Por tanto, $m-3=m-m^2,$ así que $m^2=3.$ Como $m\gt0,$ obtenemos $m=\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The slope condition gives $\frac{m-3}{1-m}=m.$ Therefore $m-3=m-m^2,$ so $m^2=3.$ Since $m\gt0,$ we obtain $m=\sqrt3.$

Thus the correct answer is C.

4.

Si $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $a$ y $b$ son impares, entonces $3^a+(b-1)^2c$ es

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $a$ and $b$ are odd, then $3^a+(b-1)^2c$ is

impar para todo valor de $c$

odd for all choices of $c$

par para todo valor de $c$

even for all choices of $c$

impar si $c$ es par; par si $c$ es impar

odd if $c$ is even; even if $c$ is odd

impar si $c$ es impar; par si $c$ es par

odd if $c$ is odd; even if $c$ is even

impar si $c$ no es múltiplo de $3$ ; par si $c$ es múltiplo de $3$

odd if $c$ is not a multiple of $3$ ; even if $c$ is a multiple of $3$

Conceptos:paridad powers

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Determina la paridad de cada uno de los dos términos

Determine the parity of each of the two terms

Pista grande:

Como $b$ es impar, $b-1$ es par

Because $b$ is odd, $b-1$ is even

Solución:

La potencia $3^a$ es impar. Como $b-1$ es par, $(b-1)^2c$ es par para todo entero positivo $c.$ La suma de un entero impar y un entero par siempre es impar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The power $3^a$ is odd. Since $b-1$ is even, $(b-1)^2c$ is even for every positive integer $c.$ The sum of an odd integer and an even integer is always odd.

Thus the correct answer is A.

5.

$6^6+6^6+6^6+6^6+6^6+6^6=$

$6^6$

$6^7$

$36^6$

$6^{36}$

$36^{36}$

Conceptos:repeated addition exponent rule

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Saca como factor el sumando repetido $6^6$

Factor the repeated summand $6^6$

Pista grande:

Hay exactamente seis términos idénticos

There are exactly six identical terms

Solución:

Al factorizar se obtiene $6\cdot6^6=6^{1+6}=6^7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring gives $6\cdot6^6=6^{1+6}=6^7.$

Thus the correct answer is B.

6.

Si $x\gt y\gt0,$ entonces $\frac{x^y y^x}{y^y x^x}=$

If $x\gt y\gt0,$ then $\frac{x^y y^x}{y^y x^x}=$

$(x-y)^{\frac{y}{x}}$

$\left(\frac{x}{y}\right)^{x-y}$

$1$

$\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}$

$(x-y)^{\frac{x}{y}}$

Conceptos:laws of exponents simplifying quotients

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Agrupa por separado las potencias de $x$ y las potencias de $y$

Collect the powers of $x$ and the powers of $y$ separately

Pista grande:

Reescribe $x^{y-x}y^{x-y}$ usando una sola razón

Rewrite $x^{y-x}y^{x-y}$ using a single ratio

Solución:

Al agrupar las bases iguales, $\frac{x^y y^x}{y^y x^x} =x^{y-x}y^{x-y} =\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Combining like bases, $\frac{x^y y^x}{y^y x^x} =x^{y-x}y^{x-y} =\left(\frac{x}{y}\right)^{y-x}.$

Thus the correct answer is D.

7.

La razón entre $w$ y $x$ es $4:3,$ la razón entre $y$ y $z$ es $3:2,$ y la razón entre $z$ y $x$ es $1:6.$ ¿Cuál es la razón entre $w$ y $y$ ?

The ratio of $w$ to $x$ is $4:3,$ of $y$ to $z$ is $3:2,$ and of $z$ to $x$ is $1:6.$ What is the ratio of $w$ to $y?$

$1:3$

$16:3$

$20:3$

$27:4$

$12:1$

Conceptos:ratios proportional reasoning

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Expresa tanto $w$ como $y$ como múltiplos de $x$

Express both $w$ and $y$ as multiples of $x$

Pista grande:

Usa $\frac{w}{y}=\frac{w}{x}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{z}{y}$

Use $\frac{w}{y}=\frac{w}{x}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{z}{y}$

Solución:

Al multiplicar las razones dadas, $\begin{aligned} \frac wy &=\frac wx\cdot\frac xz\cdot\frac zy\\ &=\frac43\cdot6\cdot\frac23=\frac{16}{3}. \end{aligned}$ Por tanto, $w:y=16:3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying the given ratios, $\begin{aligned} \frac wy &=\frac wx\cdot\frac xz\cdot\frac zy\\ &=\frac43\cdot6\cdot\frac23=\frac{16}{3}. \end{aligned}$ Thus $w:y=16:3.$

Thus the correct answer is B.

8.

Un piso cuadrado está cubierto con baldosas cuadradas congruentes. Las baldosas de las dos diagonales del piso son negras y las demás son blancas. Si hay $101$ baldosas negras, entonces el número total de baldosas es

A square floor is tiled with congruent square tiles. The tiles on the two diagonals of the floor are black. The rest of the tiles are white. If there are $101$ black tiles, then the total number of tiles is

$121$

$625$

$676$

$2500$

$2601$

Conceptos:square grid diagonals counting overlap

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Si el piso tiene $n$ baldosas por lado, cuenta las baldosas de ambas diagonales

If the floor has $n$ tiles on a side, count the tiles on both diagonals

Pista grande:

Como el número total de baldosas negras es impar, las dos diagonales comparten una baldosa central

Because the total number of black tiles is odd, the two diagonals share one center tile

Solución:

Para un $n$ impar, cada diagonal contiene $n$ baldosas y las dos diagonales solo comparten la baldosa central. Por tanto, $2n-1=101,$ de modo que $n=51.$ El piso contiene entonces $51^2=2601$ baldosas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For an odd $n,$ each diagonal contains $n$ tiles and the two diagonals share only the center tile. Hence $2n-1=101,$ so $n=51.$ The floor therefore contains $51^2=2601$ tiles.

Thus the correct answer is E.

9.

Cinco triángulos equiláteros, cada uno de lado $2\sqrt3,$ están dispuestos en el mismo lado de una recta que contiene un lado de cada triángulo. A lo largo de esta recta, el punto medio de la base de un triángulo es un vértice del siguiente. El área de la región del plano cubierta por la unión de las cinco regiones triangulares es

Five equilateral triangles, each with side $2\sqrt3,$ are arranged so they are all on the same side of a line containing one side of each. Along this line, the midpoint of the base of one triangle is a vertex of the next. The area of the region of the plane that is covered by the union of the five triangular regions is

$10$

$12$

$15$

$10\sqrt3$

$12\sqrt3$

Conceptos:equilateral triangle area inclusión-exclusión overlapping regions

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Suma las áreas de los cinco triángulos grandes y luego resta sus intersecciones

Add the areas of the five large triangles, then subtract their overlaps

Pista grande:

Cada intersección de triángulos adyacentes es un triángulo equilátero con la mitad del lado original

Each adjacent overlap is an equilateral triangle with half the original side length

Solución:

Cada triángulo grande tiene área $\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3.$ Cada una de las cuatro intersecciones es un triángulo equilátero de lado $\sqrt3,$ y por tanto de área $\frac{3\sqrt3}{4}.$ No hay intersecciones triples, así que la unión tiene área $5(3\sqrt3)-4\left(\frac{3\sqrt3}{4}\right)=12\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each large triangle has area $\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3.$ Each of the four overlaps is an equilateral triangle of side $\sqrt3,$ hence area $\frac{3\sqrt3}{4}.$ There are no triple overlaps, so the union has area $5(3\sqrt3)-4\left(\frac{3\sqrt3}{4}\right)=12\sqrt3.$

Thus the correct answer is E.

10.

El número de enteros positivos $k$ para los cuales la ecuación $kx-12=3k$ tiene una solución entera para $x$ es

The number of positive integers $k$ for which the equation $kx-12=3k$ has an integer solution for $x$ is

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:ecuación lineal divisibilidad positive divisors

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Despeja $x$ en función de $k$

Solve the equation for $x$ in terms of $k$

Pista grande:

La expresión $3+\frac{12}{k}$ es entera exactamente cuando $k$ es un divisor positivo de $12$

The expression $3+\frac{12}{k}$ is integral exactly when $k$ is a positive divisor of $12$

Solución:

Al despejar se obtiene $x=3+\frac{12}{k}.$ Así, $x$ es entero precisamente cuando $k$ es un divisor positivo de $12.$ Las posibilidades son $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ y $12,$ para un total de $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Solving gives $x=3+\frac{12}{k}.$ Thus $x$ is an integer precisely when $k$ is a positive divisor of $12.$ The possibilities are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ and $12,$ for a total of $6.$

Thus the correct answer is D.

11.

La razón entre los radios de dos círculos concéntricos es $1:3.$ Si $\overline{AC}$ es un diámetro del círculo mayor, $\overline{BC}$ es una cuerda del círculo mayor tangente al círculo menor, y $AB=12,$ entonces el radio del círculo mayor es

The ratio of the radii of two concentric circles is $1:3.$ If $\overline{AC}$ is a diameter of the larger circle, $\overline{BC}$ is a chord of the larger circle that is tangent to the smaller circle, and $AB=12,$ then the radius of the larger circle is

$13$

$18$

$21$

$24$

$26$

Conceptos:circle tangent triángulo rectángulo similar triangles

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Traza el radio hasta el punto donde $\overline{BC}$ toca el círculo menor

Draw the radius to the point where $\overline{BC}$ touches the smaller circle

Pista grande:

Usa los triángulos rectángulos semejantes formados por el radio al punto de tangencia y el diámetro

Use the similar right triangles formed by the tangent radius and the diameter

Solución:

Sea $O$ el centro común y $T$ el punto de tangencia en $\overline{BC}.$ Como $OT\perp BC$ y $\angle ABC=90^\circ,$ los triángulos $OTC$ y $ABC$ son semejantes. Si el radio mayor es $R,$ entonces $OT=\frac{R}{3},$ $OC=R,$ y $AC=2R.$ Por tanto, $\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.$ De aquí, $OT=6$ y $R=3OT=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $O$ be the common center and $T$ the tangency point on $\overline{BC}.$ Since $OT\perp BC$ and $\angle ABC=90^\circ,$ triangles $OTC$ and $ABC$ are similar. If the larger radius is $R,$ then $OT=\frac{R}{3},$ $OC=R,$ and $AC=2R.$ Thus $\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.$ Hence $OT=6$ and $R=3OT=18.$

Thus the correct answer is B.

12.

Sea $y=mx+b$ la imagen de la recta $x-3y+11=0$ al reflejarla respecto del eje $x$ . El valor de $m+b$ es

Let $y=mx+b$ be the image when the line $x-3y+11=0$ is reflected across the $x$ -axis. The value of $m+b$ is

$-6$

$-5$

$-4$

$-3$

$-2$

Conceptos:reflection equation of a line slope-intercept form

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

La reflexión respecto del eje $x$ cambia cada coordenada $y$ por su opuesto

Reflection across the $x$ -axis replaces each $y$ -coordinate by its negative

Pista grande:

Sustituye $y$ por $-y$ en la ecuación original y luego despeja $y$

Replace $y$ by $-y$ in the original equation, then solve for $y$

Solución:

Un punto $(x,y)$ está en la recta reflejada exactamente cuando $(x,-y)$ está en la recta original. Por tanto, $x+3y+11=0,$ es decir, $y=-\frac13x-\frac{11}{3}.$ Entonces $m+b=-\frac13-\frac{11}{3}=-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A point $(x,y)$ is on the reflected line exactly when $(x,-y)$ is on the original line. Hence $x+3y+11=0,$ or $y=-\frac13x-\frac{11}{3}.$ Therefore $m+b=-\frac13-\frac{11}{3}=-4.$

Thus the correct answer is C.

13.

¿Cuántos pares de enteros positivos $(a,b)$ con $a+b\le100$ satisfacen la ecuación $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?$

How many pairs of positive integers $(a,b)$ with $a+b\le100$ satisfy the equation $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?$

$1$

$5$

$7$

$9$

$13$

Conceptos:rational expression positive integer solutions divisibilidad

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Multiplica el numerador y el denominador por $ab$

Multiply the numerator and denominator by $ab$

Pista grande:

Después de simplificar, expresa $a$ como múltiplo de $b$ y aplica la cota sobre $a+b$

After simplifying, write $a$ as a multiple of $b$ and apply the bound on $a+b$

Solución:

Al multiplicar el numerador y el denominador por $ab$ se obtiene $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.$ Por tanto, $a=13b.$ La condición $a+b\le100$ se convierte en $14b\le100,$ así que $b$ puede ser cualquier entero de $1$ a $7.$ Hay $7$ pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Multiplying the numerator and denominator by $ab$ gives $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.$ Thus $a=13b.$ The condition $a+b\le100$ becomes $14b\le100,$ so $b$ may be any integer from $1$ through $7.$ There are $7$ pairs.

Thus the correct answer is C.

14.

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen la misma gráfica? $\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}$

Which of the following equations have the same graph? $\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}$

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

ninguna; todas las ecuaciones tienen gráficas diferentes

None. All the equations have different graphs

Conceptos:graph domain restriction extraneous component

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Presta especial atención a lo que ocurre cuando $x=-2$

Pay special attention to what happens when $x=-2$

Pista grande:

La ecuación II omite un punto, mientras que la ecuación III incluye una recta vertical adicional completa

Equation II omits one point, while equation III includes an entire extra vertical line

Solución:

La ecuación I es toda la recta $y=x-2.$ La ecuación II se simplifica a esa recta solo cuando $x\ne-2,$ por lo que omite $(-2,-4).$ En la ecuación III, todo punto con $x=-2$ satisface $0=0;$ para los demás valores de $x$ se obtiene $y=x-2.$ Por tanto, III es la recta junto con toda la recta vertical $x=-2.$ Las tres gráficas son diferentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Equation I is the whole line $y=x-2.$ Equation II simplifies to that line only when $x\ne-2,$ so it omits $(-2,-4).$ In equation III, every point with $x=-2$ satisfies $0=0;$ for other $x$ it gives $y=x-2.$ Thus III is the line together with the entire vertical line $x=-2.$ The three graphs are different.

Thus the correct answer is E.

15.

Sea $i=\sqrt{-1}.$ Para $n\ge1,$ se define una sucesión de números complejos mediante $\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}$ En el plano complejo, ¿a qué distancia del origen está $z_{111}$ ?

Let $i=\sqrt{-1}.$ For $n\ge1,$ define a sequence of complex numbers by $\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}$ In the complex plane, how far from the origin is $z_{111}?$

$1$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt{110}$

$\sqrt{2^{55}}$

Conceptos:número complejo recurrence periodic sequence modulus

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Calcula los primeros términos en lugar de intentar desarrollar $z_{111}$

Compute the first few terms rather than trying to expand $z_{111}$

Pista grande:

Busca un ciclo que comience con $z_3$

Look for a cycle beginning with $z_3$

Solución:

Los primeros términos son $\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned}$ Por tanto, desde $z_3$ la sucesión alterna entre $-1+i$ en los índices impares y $-i$ en los índices pares. Así, $z_{111}=-1+i,$ cuya distancia al origen es $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first terms are $\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned}$ Hence the sequence alternates between $-1+i$ at odd indices and $-i$ at even indices from $z_3$ onward. Therefore $z_{111}=-1+i,$ whose distance from the origin is $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.$

Thus the correct answer is B.

16.

Si tres números positivos y distintos $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen $\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$ entonces $\frac{x}{y}=$

If $\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$ for three positive numbers $x,$ $y,$ and $z,$ all different, then $\frac{x}{y}=$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac23$

$\frac53$

$2$

Conceptos:proportion algebraic system quadratic equation

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sea $r=\frac{x}{y}$ y expresa $\frac{z}{y}$ usando la razón central

Let $r=\frac{x}{y}$ and express $\frac{z}{y}$ using the middle ratio

Pista grande:

Sustituye $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ en la primera razón

Substitute $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ into the first ratio

Solución:

Sea $r=\frac{x}{y}\gt0.$ De $\frac{x+y}{z}=r,$ se obtiene $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.$ Entonces $\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.$ Por tanto, $r^2-r-1=1,$ o $r^2-r-2=0.$ Así, $r=2$ o $-1,$ y la positividad da $r=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $r=\frac{x}{y}\gt0.$ From $\frac{x+y}{z}=r,$ we get $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.$ Then $\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.$ Thus $r^2-r-1=1,$ or $r^2-r-2=0.$ Hence $r=2$ or $-1,$ and positivity gives $r=2.$

Thus the correct answer is E.

17.

Los enteros de dos cifras desde $19$ hasta $92$ se escriben consecutivamente para formar el entero grande $N=19202122\ldots909192.$ Si $3^k$ es la mayor potencia de $3$ que divide a $N,$ entonces $k=$

The two-digit integers from $19$ to $92$ are written consecutively to form the large integer $N=19202122\ldots909192.$ If $3^k$ is the highest power of $3$ that is a factor of $N,$ then $k=$

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Conceptos:divisibility by 3 and 9 digit sum arithmetic series

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Usa las pruebas de la suma de cifras para la divisibilidad por $3$ y por $9$

Use the digit-sum tests for divisibility by $3$ and $9$

Pista grande:

Módulo $9,$ la suma de cifras de la concatenación equivale a $19+20+\cdots+92$

Modulo $9,$ the digit sum of the concatenation equals $19+20+\cdots+92$

Solución:

Módulo $9,$ un número es congruente con la suma de sus cifras, así que $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}$ Por tanto, $N$ es divisible por $3$ pero no por $9,$ de modo que la mayor potencia de $3$ que lo divide es $3^1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Modulo $9,$ a number is congruent to its digit sum, so $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}$ Thus $N$ is divisible by $3$ but not by $9,$ so the highest power of $3$ dividing it is $3^1.$

Thus the correct answer is B.

18.

La sucesión creciente de enteros positivos $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ cumple, para todo $n\ge1,$ $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$ Si $a_7=120,$ entonces $a_8$ es

The increasing sequence of positive integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ has the property that, for every $n\ge1,$ $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$ If $a_7=120,$ then $a_8$ is

$128$

$168$

$193$

$194$

$210$

Conceptos:Fibonacci recurrence Diophantine equation increasing sequence

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Expresa $a_7$ y $a_8$ en función de $a_1$ y $a_2$

Write $a_7$ and $a_8$ in terms of $a_1$ and $a_2$

Pista grande:

A partir de $5a_1+8a_2=120,$ usa congruencias y $a_2\gt a_1\gt0$

From $5a_1+8a_2=120,$ use congruences and $a_2\gt a_1\gt0$

Solución:

Sean $a_1=a$ y $a_2=b.$ Al usar repetidamente la recurrencia se obtiene $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}$ Módulo $5,$ la primera ecuación muestra que $b$ es múltiplo de $5.$ Las posibilidades positivas son $b=5,$ $b=10,$ o $b=15.$ Las condiciones $b\gt a\gt0$ solo permiten $b=10$ y $a=8.$ Por tanto, $a_8=8(8)+13(10)=194.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a_1=a$ and $a_2=b.$ Repeated use of the recurrence gives $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}$ Modulo $5,$ the first equation shows that $b$ is a multiple of $5.$ The positive possibilities are $b=5,$ $b=10,$ or $b=15.$ The conditions $b\gt a\gt0$ leave only $b=10$ and $a=8.$ Hence $a_8=8(8)+13(10)=194.$

Thus the correct answer is D.

19.

Para cada vértice de un cubo macizo, considera el tetraedro determinado por el vértice y los puntos medios de las tres aristas que concurren en él. La parte del cubo que queda al cortar estos ocho tetraedros se llama cuboctaedro. ¿A cuál de los siguientes valores se aproxima más la razón entre el volumen del cuboctaedro y el volumen del cubo original?

For each vertex of a solid cube, consider the tetrahedron determined by the vertex and the midpoints of the three edges that meet at that vertex. The portion of the cube that remains when these eight tetrahedra are cut away is called a cuboctahedron. The ratio of the volume of the cuboctahedron to the volume of the original cube is closest to which of these?

$75\%$

$78\%$

$81\%$

$84\%$

$87\%$

Conceptos:solid geometry tetrahedron volume volume ratio

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Elige una longitud de arista conveniente para el cubo y calcula el volumen de un tetraedro de esquina eliminado

Choose a convenient side length for the cube and compute one removed corner tetrahedron

Pista grande:

Cada tetraedro eliminado tiene tres aristas mutuamente perpendiculares de longitud igual a la mitad de la arista del cubo

Each removed tetrahedron has three mutually perpendicular edges equal to half the cube’s side

Solución:

Toma la longitud de la arista del cubo como $2.$ Su volumen es $8.$ Cada tetraedro de esquina tiene tres aristas perpendiculares de longitud $1,$ así que su volumen es $\frac16.$ Los ocho tetraedros eliminados tienen volumen total $\frac43,$ y queda $\frac{20}{3}.$ La razón es $\frac{\frac{20}{3}}{8}=\frac56=83\tfrac13\%,$ que se aproxima más a $84\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Take the cube’s side length to be $2.$ Its volume is $8.$ Each corner tetrahedron has three perpendicular edges of length $1,$ so its volume is $\frac16.$ The eight removed tetrahedra have total volume $\frac43,$ leaving $\frac{20}{3}.$ The ratio is $\frac{\frac{20}{3}}{8}=\frac56=83\tfrac13\%,$ which is closest to $84\%.$

Thus the correct answer is D.

20.

Se muestra parte de una “estrella regular de $n$ puntas”. Es un polígono simple cerrado en el cual las $2n$ aristas son congruentes, los ángulos $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ son congruentes y los ángulos $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ son congruentes. Si el ángulo agudo en $A_1$ mide $10^\circ$ menos que el ángulo agudo en $B_1,$ entonces $n=$

Part of an “ $n$ -pointed regular star” is shown. It is a simple closed polygon in which all $2n$ edges are congruent, angles $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ are congruent, and angles $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ are congruent. If the acute angle at $A_1$ is $10^\circ$ less than the acute angle at $B_1,$ then $n=$

$12$

$18$

$24$

$36$

$60$

Conceptos:polygon angle sum concave polygon regular star

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sean los ángulos agudos en los vértices de tipo $A$ y $B$ iguales a $\alpha$ y $\beta$ , respectivamente

Let the acute angles at the $A$ - and $B$ -vertices be $\alpha$ and $\beta$

Pista grande:

En cada vértice entrante de tipo $B$ , el ángulo interior del polígono es $360^\circ-\beta$

At each inward $B$ -vertex, the polygon’s interior angle is $360^\circ-\beta$

Solución:

Sean $\alpha$ y $\beta$ los ángulos agudos en las puntas y las muescas, respectivamente, de modo que $\beta-\alpha=10^\circ.$ El polígono de $2n$ lados tiene $n$ ángulos interiores $\alpha$ y $n$ ángulos interiores reflejos $360^\circ-\beta.$ Por tanto, $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}$ Al sustituir $\beta-\alpha=10^\circ$ se obtiene $350n=360n-360,$ así que $n=36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the acute angles at the tips and notches be $\alpha$ and $\beta,$ respectively, so $\beta-\alpha=10^\circ.$ The $2n$ -gon has $n$ interior angles $\alpha$ and $n$ reflex interior angles $360^\circ-\beta.$ Therefore $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}$ Substituting $\beta-\alpha=10^\circ$ gives $350n=360n-360,$ so $n=36.$

Thus the correct answer is D.

21.

Para una sucesión finita de números $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ , la suma de Cesàro de $A$ se define como $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},$ donde $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}$ Si la suma de Cesàro de la sucesión de $99$ términos $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ es $1000,$ ¿cuál es la suma de Cesàro de la sucesión de $100$ términos $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ ?

For a finite sequence $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ of numbers, the Cesàro sum of $A$ is defined to be $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},$ where $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}$ If the Cesàro sum of the $99$ -term sequence $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ is $1000,$ what is the Cesàro sum of the $100$ -term sequence $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})?$

$991$

$999$

$1000$

$1001$

$1009$

Conceptos:partial sums sequence transformation weighted average

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Convierte la primera suma de Cesàro en el valor de $S_1+\cdots+S_{99}$

Convert the first Cesàro sum into the value of $S_1+\cdots+S_{99}$

Pista grande:

Cada nueva suma parcial es $1$ más una suma parcial anterior, y hay una suma parcial inicial igual a $1$

Each new partial sum is $1$ plus an old partial sum, with one initial partial sum equal to $1$

Solución:

La condición dada afirma que $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.$ Para la nueva sucesión, las sumas parciales son $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.$ Su suma es $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.$ Al dividir entre $100$ se obtiene la nueva suma de Cesàro $991.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The given condition says $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.$ For the new sequence, the partial sums are $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.$ Their sum is $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.$ Dividing by $100$ gives the new Cesàro sum $991.$

Thus the correct answer is A.

22.

Se seleccionan diez puntos en el semieje positivo de $x$ , $\mathrm{X}^+,$ y cinco puntos en el semieje positivo de $y$ , $\mathrm{Y}^+.$ Se trazan los cincuenta segmentos que conectan los diez puntos seleccionados de $\mathrm{X}^+$ con los cinco puntos seleccionados de $\mathrm{Y}^+.$ ¿Cuál es el máximo número posible de puntos de intersección de estos cincuenta segmentos que pueden estar en el interior del primer cuadrante?

Ten points are selected on the positive $x$ -axis, $\mathrm{X}^+,$ and five points are selected on the positive $y$ -axis, $\mathrm{Y}^+.$ The fifty segments connecting the ten selected points on $\mathrm{X}^+$ to the five selected points on $\mathrm{Y}^+$ are drawn. What is the maximum possible number of points of intersection of these fifty segments that could lie in the interior of the first quadrant?

$250$

$450$

$500$

$1250$

$2500$

Conceptos:combinatorial geometry intersections binomial coefficient

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Una intersección interior queda determinada al elegir dos puntos de cada eje

An interior crossing is determined by choosing two points from each axis

Pista grande:

Para cada par seleccionado en cada eje, exactamente un par de los cuatro segmentos conectores se cruza

For each selected pair on each axis, exactly one pair of the four connecting segments crosses

Solución:

Elige dos de los $10$ puntos del eje $x$ y dos de los $5$ puntos del eje $y$ . Entre los cuatro segmentos conectores, los dos cuyos extremos están en orden inverso se cruzan exactamente una vez. Los puntos se pueden elegir de modo que no haya tres segmentos que pasen por el mismo punto interior, por lo que el máximo es $\binom{10}{2}\binom{5}{2}=45\cdot10=450.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Choose two of the $10$ points on the $x$ -axis and two of the $5$ points on the $y$ -axis. Among the four connecting segments, the two with reversed endpoint order cross exactly once. The points can be chosen so no three segments meet at one interior point, so the maximum is $\binom{10}{2}\binom{5}{2}=45\cdot10=450.$

Thus the correct answer is B.

23.

¿Cuál es el tamaño del mayor subconjunto $S$ de $\{1,2,3,\ldots,50\}$ tal que ningún par de elementos distintos de $S$ tiene suma divisible por $7$ ?

What is the size of the largest subset $S$ of $\{1,2,3,\ldots,50\}$ such that no pair of distinct elements of $S$ has a sum divisible by $7?$

$6$

$7$

$14$

$22$

$23$

Conceptos:aritmética modular residue classes extremal set

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Agrupa los enteros según sus residuos módulo $7$

Group the integers by their residues modulo $7$

Pista grande:

Empareja la clase residual $1$ con la $6,$ la $2$ con la $5,$ y la $3$ con la $4$ ; trata por separado la clase residual $0$

Pair residue classes $1$ with $6,$ $2$ with $5,$ and $3$ with $4$ ; treat residue $0$ separately

Solución:

Las clases residuales $1,2,\ldots,6,0$ contienen $8,7,7,7,7,7,7$ números, respectivamente. Podemos tomar números de, a lo sumo, una clase de cada par complementario $(1,6),(2,5),(3,4),$ y como máximo un múltiplo de $7.$ Por tanto, $\begin{aligned} |S|&\le\max(8,7)+\max(7,7)\\ &\qquad+\max(7,7)+1=23. \end{aligned}$ Tomar todos los números cuyo residuo módulo $7$ es $1,$ $2,$ o $3,$ junto con un múltiplo de $7,$ alcanza $23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The residue classes $1,2,\ldots,6,0$ contain $8,7,7,7,7,7,7$ numbers, respectively. We may take numbers from at most one class in each complementary pair $(1,6),(2,5),(3,4),$ and at most one multiple of $7.$ Thus $\begin{aligned} |S|&\le\max(8,7)+\max(7,7)\\ &\qquad+\max(7,7)+1=23. \end{aligned}$ Taking every number whose residue modulo $7$ is $1,$ $2,$ or $3,$ together with one multiple of $7,$ attains $23.$

Thus the correct answer is E.

24.

Sea $ABCD$ un paralelogramo de área $10$ , con $AB=3$ y $BC=5.$ Sitúa $E,$ $F,$ y $G$ en los segmentos $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{AD},$ respectivamente, de modo que $AE=BF=AG=2.$ La recta que pasa por $G$ y es paralela a $\overline{EF}$ corta a $\overline{CD}$ en $H.$ El área del cuadrilátero $EFHG$ es

Let $ABCD$ be a parallelogram of area $10$ with $AB=3$ and $BC=5.$ Locate $E,$ $F,$ and $G$ on segments $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AD},$ respectively, with $AE=BF=AG=2.$ Let the line through $G$ parallel to $\overline{EF}$ intersect $\overline{CD}$ at $H.$ The area of the quadrilateral $EFHG$ is

$4$

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

Conceptos:paralelogramo affine coordinates polygon area

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Usa $AB$ y $AD$ como base de coordenadas afines

Use $AB$ and $AD$ as an affine coordinate basis

Pista grande:

En esa base, $E=(\frac{2}{3},0),$ $F=(1,\frac{2}{5}),$ y $G=(0,\frac{2}{5})$ ; usa la condición de paralelismo para ubicar $H$

In that basis, $E=(\frac{2}{3},0),$ $F=(1,\frac{2}{5}),$ and $G=(0,\frac{2}{5})$ ; use the parallel condition to locate $H$

Solución:

Usa $AB$ y $AD$ como vectores base. Entonces $\begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right). \end{aligned}$ La recta que pasa por $G$ y es paralela a $EF$ corta a $CD$ en $H=(\frac{1}{2},1).$ La fórmula del área por coordenadas da el área de $EFHG$ como $\frac{1}{2}.$ Las coordenadas afines multiplican todas las áreas por el área $10$ de $ABCD,$ así que $[EFHG]=\frac12\cdot10=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use $AB$ and $AD$ as basis vectors. Then $\begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right). \end{aligned}$ A line from $G$ parallel to $EF$ meets $CD$ at $H=(\frac{1}{2},1).$ The shoelace formula gives the coordinate area of $EFHG$ as $\frac{1}{2}.$ Affine coordinates scale all areas by the area $10$ of $ABCD,$ so $[EFHG]=\frac12\cdot10=5.$

Thus the correct answer is C.

25.

En el triángulo $ABC,$ $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=3,$ y $BC=4.$ Si las perpendiculares a $\overline{AB}$ por $A$ y a $\overline{BC}$ por $C$ se cortan en $D,$ entonces $CD=$

In triangle $ABC,$ $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=3,$ and $BC=4.$ If perpendiculars constructed to $\overline{AB}$ at $A$ and to $\overline{BC}$ at $C$ meet at $D,$ then $CD=$

$3$

$\frac8{\sqrt3}$

$5$

$\frac{11}{2}$

$\frac{10}{\sqrt3}$

Conceptos:geometría analítica perpendicular lines distance

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca $B=(0,0)$ y $A=(3,0)$

Place $B=(0,0)$ and $A=(3,0)$

Pista grande:

Usa el ángulo de $120^\circ$ para ubicar $C,$ y luego parametriza la recta que pasa por $C$ y es perpendicular a $BC$

Use the $120^\circ$ angle to locate $C,$ then parametrize the line through $C$ perpendicular to $BC$

Solución:

Sean $B=(0,0)$ y $A=(3,0).$ Entonces $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}$ La perpendicular a $AB$ por $A$ es $x=3.$ Un vector perpendicular a $BC=(-2,2\sqrt3)$ es $(\sqrt3,1),$ así que la otra perpendicular es $C+t(\sqrt3,1).$ Su coordenada $x$ es $3$ cuando $t=\frac{5}{\sqrt3}.$ Como $|(\sqrt3,1)|=2,$ $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $B=(0,0)$ and $A=(3,0).$ Then $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}$ The perpendicular to $AB$ at $A$ is $x=3.$ A vector perpendicular to $BC=(-2,2\sqrt3)$ is $(\sqrt3,1),$ so the other perpendicular is $C+t(\sqrt3,1).$ Its $x$ -coordinate is $3$ when $t=\frac{5}{\sqrt3}.$ Since $|(\sqrt3,1)|=2,$ $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.$

Thus the correct answer is E.

26.

El semicírculo $\overset{\frown}{AB}$ tiene centro $C$ y radio $1.$ El punto $D$ está en $\overset{\frown}{AB}$ y $CD\perp AB.$ Prolonga $\overline{BD}$ y $\overline{AD}$ hasta $E$ y $F,$ respectivamente, de modo que los arcos circulares $\overset{\frown}{AE}$ y $\overset{\frown}{BF}$ tengan centros $B$ y $A,$ respectivamente. El arco circular $\overset{\frown}{EF}$ tiene centro $D.$ El área de la “sonrisa” sombreada $AEFBDA$ es

Semicircle $\overset{\frown}{AB}$ has center $C$ and radius $1.$ Point $D$ is on $\overset{\frown}{AB}$ and $CD\perp AB.$ Extend $\overline{BD}$ and $\overline{AD}$ to $E$ and $F,$ respectively, so that circular arcs $\overset{\frown}{AE}$ and $\overset{\frown}{BF}$ have $B$ and $A$ as their respective centers. Circular arc $\overset{\frown}{EF}$ has center $D.$ The area of the shaded “smile,” $AEFBDA,$ is

$(2-\sqrt2)\pi$

$2\pi-\pi\sqrt2-1$

$\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\pi$

$\frac{5\pi}{2}-\pi\sqrt2-1$

$(3-2\sqrt2)\pi$

Conceptos:sector area semicircle isosceles right triangle composite region

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa $AC=BC=CD=1$ para identificar dos triángulos rectángulos isósceles y determinar los radios pertinentes

Use $AC=BC=CD=1$ to identify two isosceles right triangles and determine the relevant radii

Pista grande:

Expresa la sonrisa como un sector de $90^\circ$ más dos sectores de $45^\circ$ , y luego resta el triángulo $ABD$ y el semicírculo $ADB$

Express the smile as one $90^\circ$ sector plus two $45^\circ$ sectors, then subtract triangle $ABD$ and semicircle $ADB$

Solución:

Los triángulos $ACD$ y $BCD$ son rectángulos isósceles, así que $AD=BD=\sqrt2,$ $\angle ADB=90^\circ,$ y $DE=DF=2-\sqrt2.$ La sonrisa es el sector de $90^\circ$ $EDF,$ más los sectores congruentes de $45^\circ$ $ABE$ y $BAF,$ menos el triángulo $ABD$ y el semicírculo original. Su área es $\begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Triangles $ACD$ and $BCD$ are isosceles right triangles, so $AD=BD=\sqrt2,$ $\angle ADB=90^\circ,$ and $DE=DF=2-\sqrt2.$ The smile is the $90^\circ$ sector $EDF,$ plus the congruent $45^\circ$ sectors $ABE$ and $BAF,$ minus triangle $ABD$ and the original semicircle. Its area is $\begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

27.

Un círculo de radio $r$ tiene cuerdas $\overline{AB}$ de longitud $10$ y $\overline{CD}$ de longitud $7.$ Al prolongar $\overline{AB}$ más allá de $B$ y $\overline{CD}$ más allá de $C,$ se cortan en un punto $P$ exterior al círculo. Si $\angle APD=60^\circ$ y $BP=8,$ entonces $r^2=$

A circle of radius $r$ has chords $\overline{AB}$ of length $10$ and $\overline{CD}$ of length $7.$ When $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are extended through $B$ and $C,$ respectively, they intersect at $P,$ which is outside the circle. If $\angle APD=60^\circ$ and $BP=8,$ then $r^2=$

$70$

$71$

$72$

$73$

$74$

Conceptos:potencia de un punto secants triángulo rectángulo circle diameter

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Aplica el teorema de las dos secantes para hallar $PC$ y $PD$

Apply the secant-secant theorem to find $PC$ and $PD$

Pista grande:

Una vez que tengas $PA=18,$ $PC=9,$ y $\angle APC=60^\circ,$ identifica un triángulo de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Once $PA=18,$ $PC=9,$ and $\angle APC=60^\circ,$ identify a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Solución:

La potencia de $P$ da $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$ Aquí $PA=18,$ $PB=8,$ y $PD=PC+7,$ así que $PC(PC+7)=144.$ Por tanto, $PC=9$ y $PD=16.$ Como $PA=2PC$ y $\angle APC=60^\circ,$ el triángulo $APC$ es rectángulo en $C,$ con $AC=9\sqrt3.$ Por tanto, $AD$ es un diámetro, y $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}$ De aquí, $r^2=73.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Power of $P$ gives $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$ Here $PA=18,$ $PB=8,$ and $PD=PC+7,$ so $PC(PC+7)=144.$ Thus $PC=9$ and $PD=16.$ Since $PA=2PC$ and $\angle APC=60^\circ,$ triangle $APC$ is right at $C,$ with $AC=9\sqrt3.$ Therefore $AD$ is a diameter, and $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}$ Hence $r^2=73.$

Thus the correct answer is D.

28.

Sea $i=\sqrt{-1}.$ El producto de las partes reales de las raíces de $z^2-z=5-5i$ es

Let $i=\sqrt{-1}.$ The product of the real parts of the roots of $z^2-z=5-5i$ is

$-25$

$-6$

$-5$

$\frac14$

$25$

Conceptos:complex quadratic square root of a complex number Vieta

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Aplica la fórmula cuadrática y escribe $\sqrt{21-20i}=a+bi$

Apply the quadratic formula and write $\sqrt{21-20i}=a+bi$

Pista grande:

Resuelve $a^2-b^2=21$ y $2ab=-20$ para determinar las partes reales de las dos raíces

Solve $a^2-b^2=21$ and $2ab=-20$ to determine the real parts of the two roots

Solución:

La fórmula cuadrática da $z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2.$ Como $(5-2i)^2=21-20i,$ las raíces son $\begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned}$ Sus partes reales tienen producto $3(-2)=-6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The quadratic formula gives $z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2.$ Since $(5-2i)^2=21-20i,$ the roots are $\begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned}$ Their real parts have product $3(-2)=-6.$

Thus the correct answer is B.

29.

Una moneda “sesgada” tiene probabilidad $\frac23$ de caer cara. Si se lanza esta moneda $50$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número total de caras sea par?

An “unfair” coin has a $\frac23$ probability of turning up heads. If this coin is tossed $50$ times, what is the probability that the total number of heads is even?

$2^5\left(\frac23\right)^{50}$

$\frac12\left(1-\frac1{3^{50}}\right)$

$\frac12$

$\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right)$

$\frac23$

Conceptos:binomial parity probability recurrence complementary states

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sigue la diferencia entre las probabilidades de obtener un número par y un número impar de caras

Track the difference between the probabilities of an even and an odd number of heads

Pista grande:

Un lanzamiento multiplica esa diferencia por $P(T)-P(H)$

One toss multiplies that difference by $P(T)-P(H)$

Solución:

Sean $E_n$ y $O_n$ las probabilidades de obtener un número par e impar de caras, respectivamente, después de $n$ lanzamientos. Entonces $E_n+O_n=1,$ mientras que $\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}$ Como $E_0-O_0=1,$ tenemos $E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.$ Al resolver las ecuaciones de suma y diferencia se obtiene $E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $E_n$ and $O_n$ be the probabilities of an even and odd number of heads after $n$ tosses. Then $E_n+O_n=1,$ while $\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}$ Since $E_0-O_0=1,$ we have $E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.$ Solving the sum and difference equations gives $E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).$

Thus the correct answer is D.

30.

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $AB=92$ y $CD=19.$ Supón que $AD=BC=x$ y que un círculo cuyo centro está en $\overline{AB}$ es tangente a los segmentos $\overline{AD}$ y $\overline{BC}.$ Si $m$ es el menor valor posible de $x,$ entonces $m^2=$

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with bases $AB=92$ and $CD=19.$ Suppose $AD=BC=x$ and a circle with center on $\overline{AB}$ is tangent to segments $\overline{AD}$ and $\overline{BC}.$ If $m$ is the smallest possible value of $x,$ then $m^2=$

$1369$

$1679$

$1748$

$2109$

$8825$

Conceptos:isosceles trapezoid circle tangent to lines optimización geometría analítica

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Por simetría, coloca el trapecio con los centros de sus bases en el mismo eje vertical y sitúa el centro del círculo en el punto medio de $AB$

By symmetry, place the trapezoid with its bases centered on the same vertical axis and put the circle’s center at the midpoint of $AB$

Pista grande:

Escribe la distancia del centro a un lado no paralelo y exige que el punto de tangencia esté en el segmento; el mínimo ocurre en el caso límite de un extremo

Write the distance from the center to a leg and require the tangency point to lie on the leg segment; the minimum occurs at an endpoint case

Solución:

Coloca $A=(-46,0),$ $B=(46,0),$ $D=(-\frac{19}{2},h),$ y $C=(\frac{19}{2},h).$ La simetría obliga a que el centro del círculo sea $O=(0,0).$ El desplazamiento horizontal a lo largo de cada lado no paralelo es $\frac{73}{2},$ así que $x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2.$ La perpendicular desde $O$ a un lado no paralelo empieza a tener su pie en el segmento cuando este alcanza el extremo superior; esta condición límite es $OD\perp AD.$ Por tanto, $\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4}. \end{aligned}$ Entonces $m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $A=(-46,0),$ $B=(46,0),$ $D=(-\frac{19}{2},h),$ and $C=(\frac{19}{2},h).$ Symmetry forces the circle’s center to be $O=(0,0).$ The horizontal offset along each leg is $\frac{73}{2},$ so $x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2.$ The perpendicular from $O$ to a leg first has its foot on the segment when the foot reaches the upper endpoint; this boundary condition is $OD\perp AD.$ Thus $\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4}. \end{aligned}$ Therefore $m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679.$

Thus the correct answer is B.