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2014 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

En △BAC,\triangle BAC, ∠BAC=40∘,\angle BAC=40^\circ, AB=10,AB=10, y AC=6.AC=6. Los puntos DD y EE están sobre AB‾\overline{AB} y AC‾,\overline{AC}, respectivamente. ¿Cuál es el mínimo valor posible de BE+DE+CDBE+DE+CD?

In △BAC,\triangle BAC, ∠BAC=40∘,\angle BAC=40^\circ, AB=10,AB=10, and AC=6.AC=6. Points DD and EE lie on AB‾\overline{AB} and AC‾,\overline{AC}, respectively. What is the minimum possible value of BE+DE+CD?BE+DE+CD?

63+36\sqrt3+3

272\dfrac{27}{2}

838\sqrt3

1414

33+93\sqrt3+9

Respuesta: D
Conceptos:reflexión (geometría)ley de los cosenosoptimización
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:

Refleja BB sobre la recta ACAC para obtener B′B' y CC sobre la recta ABAB para obtener C′C'

Reflect BB over line ACAC to B′B' and CC over line ABAB to C′C'

Pista grande:

El camino se convierte en B′E+ED+DC′B'E+ED+DC', que se minimiza como el segmento recto B′C′B'C'; usa la ley de cosenos con ∠B′AC′=120∘\angle B'AC'=120^\circ.

The path becomes B′E+ED+DC′B'E+ED+DC', minimized as the straight segment B′C′B'C'; use the Law of Cosines with ∠B′AC′=120∘\angle B'AC'=120^\circ

Solución:

Refleja BB sobre la recta ACAC para obtener B′,B', y refleja CC sobre la recta ABAB para obtener C′.C'. Entonces BE=B′EBE=B'E y CD=C′D,CD=C'D, así que BE+DE+CDBE+DE+CD =B′E+ED+DC′,=B'E+ED+DC', un camino quebrado de B′B' a C′.C'.

Esto se minimiza cuando el camino es el segmento recto B′C′.B'C'. Tenemos AB′=AB=10,AB'=AB=10, AC′=AC=6,AC'=AC=6, y ∠B′AC′=3⋅40∘=120∘.\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.

Por la ley de cosenos, B′C′2=102+62−2⋅10⋅6cos⁡120∘=136+60=196, \begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered} así que B′C′=14.B'C'=14.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Reflect BB across line ACAC to get B′,B', and reflect CC across line ABAB to get C′.C'. Then BE=B′EBE=B'E and CD=C′D,CD=C'D, so BE+DE+CDBE+DE+CD =B′E+ED+DC′,=B'E+ED+DC', a broken path from B′B' to C′.C'.

This is minimized when the path is the straight segment B′C′.B'C'. We have AB′=AB=10,AB'=AB=10, AC′=AC=6,AC'=AC=6, and ∠B′AC′=3⋅40∘=120∘.\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.

By the Law of Cosines, B′C′2=102+62−2⋅10⋅6cos⁡120∘=136+60=196, \begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered} so B′C′=14.B'C'=14.

Thus, the correct answer is D.

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