Question

En $\triangle BAC,$ $\angle BAC=40^\circ,$ $AB=10,$ y $AC=6.$ Los puntos $D$ y $E$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $BE+DE+CD$ ?

In $\triangle BAC,$ $\angle BAC=40^\circ,$ $AB=10,$ and $AC=6.$ Points $D$ and $E$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively. What is the minimum possible value of $BE+DE+CD?$

$6\sqrt3+3$

$\dfrac{27}{2}$

$8\sqrt3$

$14$

$3\sqrt3+9$

Solución:

Refleja $B$ sobre la recta $AC$ para obtener $B',$ y refleja $C$ sobre la recta $AB$ para obtener $C'.$ Entonces $BE=B'E$ y $CD=C'D,$ así que $BE+DE+CD$ $=B'E+ED+DC',$ un camino quebrado de $B'$ a $C'.$

Esto se minimiza cuando el camino es el segmento recto $B'C'.$ Tenemos $AB'=AB=10,$ $AC'=AC=6,$ y $\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.$

Por la ley de cosenos, $\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered}$ así que $B'C'=14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Reflect $B$ across line $AC$ to get $B',$ and reflect $C$ across line $AB$ to get $C'.$ Then $BE=B'E$ and $CD=C'D,$ so $BE+DE+CD$ $=B'E+ED+DC',$ a broken path from $B'$ to $C'.$

This is minimized when the path is the straight segment $B'C'.$ We have $AB'=AB=10,$ $AC'=AC=6,$ and $\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.$

By the Law of Cosines, $\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered}$ so $B'C'=14.$

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años