Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $1.$ Denota por $X,$ $Y,$ y $Z$ los puntos medios de los lados $AB,$ $CD,$ y $EF,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ ?

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

Solución:

Tanto $\triangle ACE$ como $\triangle XYZ$ son equiláteros, y $\triangle ACE$ tiene la mitad del área del hexágono. Los vértices donde los dos triángulos se cortan permiten medir el hexágono sombreado respecto al triángulo de puntos medios $U$ de $\triangle ACE.$

Ese triángulo de puntos medios tiene $\tfrac14$ del área de $\triangle ACE,$ por lo tanto $\tfrac18$ del hexágono. La región sombreada es igual a $\tfrac52$ del triángulo de puntos medios, así que es $\tfrac52\cdot\tfrac18=\tfrac{5}{16}$ del hexágono.

El hexágono tiene área $6\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot1^2=\tfrac{3\sqrt3}{2},$ así que el área sombreada es $\tfrac{5}{16}\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{15}{32}\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Both $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ$ are equilateral, and $\triangle ACE$ has half the area of the hexagon. The vertices where the two triangles cut each other let the shaded hexagon be measured against the midpoint triangle $U$ of $\triangle ACE.$

That midpoint triangle has $\tfrac14$ the area of $\triangle ACE,$ hence $\tfrac18$ of the hexagon. The shaded region equals $\tfrac52$ of the midpoint triangle, so it is $\tfrac52\cdot\tfrac18=\tfrac{5}{16}$ of the hexagon.

The hexagon has area $6\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot1^2=\tfrac{3\sqrt3}{2},$ so the shaded area is $\tfrac{5}{16}\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{15}{32}\sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años