Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $1.$ Denota por $X,$ $Y,$ y $Z$ los puntos medios de los lados $AB,$ $CD,$ y $EF,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ ?

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular razón de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Coloca el hexágono regular sobre la circunferencia unitaria y escribe las coordenadas de $A,C,E$ y de los tres puntos medios.

Put the regular hexagon on the unit circle and write coordinates for $A,C,E$ and the three midpoints

Pista grande:

Interseca las rectas laterales de los dos triángulos equiláteros para hallar los seis vértices, y luego usa la fórmula del cordón.

Intersect the side lines of the two equilateral triangles to find the six vertices, then use shoelace

Solución:

Coloquemos el hexágono regular sobre la circunferencia unitaria con $A=(1,0),$ $C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),$ y $E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}).$ Los tres puntos medios indicados son $X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),$ $Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),$ y $Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).$

Al intersectar las rectas laterales de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ , se obtienen los seis vértices de su interior común, en orden cíclico: $\begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered}$ La fórmula del cordón aplicada a estos vértices da el área $\dfrac{15\sqrt3}{32}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Place the regular hexagon on the unit circle with $A=(1,0),$ $C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),$ and $E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}).$ The three specified midpoints are $X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),$ $Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),$ and $Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).$

Intersecting the side lines of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ$ gives the six vertices of their common interior, in cyclic order: $\begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered}$ The shoelace formula applied to these vertices gives area $\dfrac{15\sqrt3}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años