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2020 AMC 12B Problema 20

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 20 del 2020 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:Lema de Burnsideanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2040

20.

Dos cubos diferentes del mismo tamaño se van a pintar, eligiendo el color de cada cara de forma independiente y al azar entre negro o blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de pintarlos, los cubos puedan rotarse para verse idénticos?

Two different cubes of the same size are to be painted, with the color of each face being chosen independently and at random to be either black or white. What is the probability that after they are painted, the cubes can be rotated to be identical in appearance?

964\dfrac{9}{64}

2892048\dfrac{289}{2048}

73512\dfrac{73}{512}

1471024\dfrac{147}{1024}

5894096\dfrac{589}{4096}

Solución:

Para un primer cubo fijo, el número de segundos cubos que coinciden con él (salvo rotación) es igual al tamaño de su órbita de rotación. Así que la probabilidad buscada es 1642∑orbits(orbit size)2.\tfrac{1}{64^2}\sum_{\text{orbits}} (\text{orbit size})^2.

Agrupando por número de caras negras, los tamaños de órbita son: 00 o 66 negras →1;\to 1; 11 o 55 negras →6;\to 6; 22 o 44 negras →3\to 3 (opuestas) y 1212 (adyacentes); 33 negras →8\to 8 (vértice) y 1212 (banda). Entonces ∑(orbit size)2=1+36+(9+144)+(64+144)+(9+144)+36+1=588. \begin{gathered} \sum (\text{orbit size})^2 \\ {}= 1 + 36 + (9 + 144) \\ \quad {}+ (64 + 144) + (9 + 144) \\ \quad {}+ 36 + 1 = 588. \end{gathered}

La probabilidad es 5884096=1471024.\tfrac{588}{4096} = \tfrac{147}{1024}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a fixed first cube, the number of second cubes matching it (up to rotation) equals the size of its rotation orbit. So the desired probability is 1642∑orbits(orbit size)2.\tfrac{1}{64^2}\sum_{\text{orbits}} (\text{orbit size})^2.

Grouping by black-face count, the orbit sizes are: 00 or 66 black →1;\to 1; 11 or 55 black →6;\to 6; 22 or 44 black →3\to 3 (opposite) and 1212 (adjacent); 33 black →8\to 8 (corner) and 1212 (band). Then ∑(orbit size)2=1+36+(9+144)+(64+144)+(9+144)+36+1=588. \begin{gathered} \sum (\text{orbit size})^2 \\ {}= 1 + 36 + (9 + 144) \\ \quad {}+ (64 + 144) + (9 + 144) \\ \quad {}+ 36 + 1 = 588. \end{gathered}

The probability is 5884096=1471024.\tfrac{588}{4096} = \tfrac{147}{1024}.

Thus, the correct answer is D.

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