Question

Suponga que $a$ y $b$ son dígitos, no ambos nueve y no ambos cero, y el decimal periódico $0.\overline{ab}$ se expresa como una fracción en su mínima expresión. ¿Cuántos denominadores diferentes son posibles?

Suppose that $a$ and $b$ are digits, not both nine and not both zero, and the repeating decimal $0.\overline{ab}$ is expressed as a fraction in lowest terms. How many different denominators are possible?

$3$

$4$

$5$

$8$

$9$

Solución:

Como $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ el denominador reducido divide $99 = 3^2\cdot 11.$ Los divisores son $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

El denominador $1$ requeriría $\overline{ab} = 99,$ es decir $a = b = 9,$ que está excluido. Cada uno de $3, 9, 11, 33, 99$ es alcanzable, dando $5$ denominadores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ the reduced denominator divides $99 = 3^2\cdot 11.$ The divisors are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

The denominator $1$ would require $\overline{ab} = 99,$ i.e. $a = b = 9,$ which is excluded. Each of $3, 9, 11, 33, 99$ is achievable, giving $5$ possible denominators.

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años