Question

¿Para cuántos enteros positivos $x$ se cumple $\log_{10}(x - 40)$ $+ \log_{10}(60 - x) \lt 2$ ?

For how many positive integers $x$ is $\log_{10}(x - 40)$ $+ \log_{10}(60 - x) \lt 2?$

$10$

$18$

$19$

$20$

infinitos

infinitely many

Solución:

Los logaritmos están definidos solo cuando $x - 40 \gt 0$ y $60 - x \gt 0,$ así que $40 \lt x \lt 60.$

Dentro de este rango la desigualdad se convierte en $(x-40)(60-x) \lt 100,$ que se desarrolla como $x^2 - 100x + 2500 \gt 0,$ es decir $(x-50)^2 \gt 0.$ Esto se cumple para todo $x \ne 50.$

Los enteros estrictamente entre $40$ y $60$ excepto $50$ son $41, \ldots, 49$ y $51, \ldots, 59,$ lo que son $18$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The logarithms are defined only when $x - 40 \gt 0$ and $60 - x \gt 0,$ so $40 \lt x \lt 60.$

Within this range the inequality becomes $(x-40)(60-x) \lt 100,$ which expands to $x^2 - 100x + 2500 \gt 0,$ i.e. $(x-50)^2 \gt 0.$ This holds for every $x \ne 50.$

The integers strictly between $40$ and $60$ except $50$ are $41, \ldots, 49$ and $51, \ldots, 59,$ which is $18$ values.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años