Question

El triángulo $ABC$ tiene $AC = 3,$ $BC = 4,$ y $AB = 5.$ El punto $D$ está en $AB,$ y $CD$ biseca el ángulo recto. Los círculos inscritos de $\triangle ADC$ y $\triangle BCD$ tienen radios $r_a$ y $r_b,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $\frac{r_a}{r_b}$ ?

Triangle $ABC$ has $AC = 3,$ $BC = 4,$ and $AB = 5.$ Point $D$ is on $AB,$ and $CD$ bisects the right angle. The inscribed circles of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ have radii $r_a$ and $r_b,$ respectively. What is $\frac{r_a}{r_b}?$

$\dfrac{1}{28}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{1}{14}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{5}{56}(10 - \sqrt{2})$

$\dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2})$

Respuesta: E

Conceptos:teorema de la bisectriz circunferencia inscrita, incentro e inradio razón de áreas

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo, $AD:DB = CA:CB = 3:4$ .

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4$

Pista grande:

Para cada triángulo pequeño $r = \frac{\text{área}}{s};$ los dos triángulos comparten la base $CD$ .

For each small triangle $r = \frac{\text{area}}{s};$ the two triangles share the base $CD$

Solución:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ así que $AD = \tfrac{15}{7}$ y $BD = \tfrac{20}{7}.$ Las áreas de $\triangle ADC$ y $\triangle BCD$ comparten la base $CD,$ así que están en razón $3:4,$ a saber $\tfrac{18}{7}$ y $\tfrac{24}{7}.$

Dividir $\triangle ABC$ a lo largo de $CD,$ que corta cada cateto a $45^\circ,$ da $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ así que $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

Los dos semiperímetros son $\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}$ Usando $r = \frac{\text{área}}{s},$ $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$

Racionalizando, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ así que $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Angle Bisector Theorem, $AD:DB = CA:CB = 3:4,$ so $AD = \tfrac{15}{7}$ and $BD = \tfrac{20}{7}.$ The areas of $\triangle ADC$ and $\triangle BCD$ share base $CD,$ so they are in ratio $3:4,$ namely $\tfrac{18}{7}$ and $\tfrac{24}{7}.$

Splitting $\triangle ABC$ along $CD,$ which meets each leg at $45^\circ,$ gives $\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,$ so $CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.$

The two semiperimeters are $\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}$ Using $r = \frac{\text{area}}{s},$ $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}$

Rationalizing, $\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},$ so $\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años