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2010 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Las sucesiones aritméticas (an)(a_n) y (bn)(b_n) tienen términos enteros con a1=b1=1<a2≤b2a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2 y anbn=2010a_nb_n=2010 para algún n.n. ¿Cuál es el mayor valor posible de nn?

Arithmetic sequences (an)(a_n) and (bn)(b_n) have integer terms with a1=b1=1<a2≤b2a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2 and anbn=2010a_nb_n=2010 for some n.n. What is the largest possible value of n?n?

22

33

88

288288

20092009

Respuesta: C
Conceptos:sucesión aritméticadivisibilidadmáximo común divisor
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:

Escribe an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 y bn=1+(n−1)d2,b_n=1+(n-1)d_2, así que n−1n-1 divide tanto a an−1a_n-1 como a bn−1b_n-1.

Write an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 and bn=1+(n−1)d2,b_n=1+(n-1)d_2, so n−1n-1 divides both an−1a_n-1 and bn−1b_n-1

Pista grande:

Revisa cada par de factores de 20102010 con an≤bn;a_n\le b_n; entonces n−1n-1 debe dividir a gcd⁡(an−1,bn−1)\gcd(a_n-1,b_n-1).

Check each factor pair of 20102010 with an≤bn;a_n\le b_n; then n−1n-1 must divide gcd⁡(an−1,bn−1)\gcd(a_n-1,b_n-1)

Solución:

Como an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 y bn=1+(n−1)d2b_n=1+(n-1)d_2 para enteros d1,d2,d_1,d_2, el valor n−1n-1 divide tanto a an−1a_n-1 como a bn−1,b_n-1, y por lo tanto divide a gcd⁡(an−1,bn−1).\gcd(a_n-1,b_n-1).

Los pares de factores de 20102010 con 2≤an≤bn2\le a_n\le b_n son (2,1005),(2,1005), (3,670),(3,670), (5,402),(5,402), (6,335),(6,335), (10,201),(10,201), (15,134),(15,134), y (30,67).(30,67).

Para cada par excepto (15,134),(15,134), los números an−1a_n-1 y bn−1b_n-1 son primos entre sí, lo que fuerza n=2.n=2. Para (15,134),(15,134), gcd⁡(14,133)=7,\gcd(14,133)=7, así que n−1n-1 puede ser igual a 7,7, dando n=8.n=8.

Las sucesiones an=2n−1a_n=2n-1 y bn=19n−18b_n=19n-18 logran esto, así que el mayor valor es 8.8.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 and bn=1+(n−1)d2b_n=1+(n-1)d_2 for integers d1,d2,d_1,d_2, the value n−1n-1 divides both an−1a_n-1 and bn−1,b_n-1, hence divides gcd⁡(an−1,bn−1).\gcd(a_n-1,b_n-1).

The factor pairs of 20102010 with 2≤an≤bn2\le a_n\le b_n are (2,1005),(2,1005), (3,670),(3,670), (5,402),(5,402), (6,335),(6,335), (10,201),(10,201), (15,134),(15,134), and (30,67).(30,67).

For every pair except (15,134),(15,134), the numbers an−1a_n-1 and bn−1b_n-1 are relatively prime, forcing n=2.n=2. For (15,134),(15,134), gcd⁡(14,133)=7,\gcd(14,133)=7, so n−1n-1 can equal 7,7, giving n=8.n=8.

The sequences an=2n−1a_n=2n-1 and bn=19n−18b_n=19n-18 realize this, so the largest value is 8.8.

Thus, C is the correct answer.

Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

El Problema 20 en otros años

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