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2010 AMC 12A Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

La gráfica de y=x6−10x5y=x^6-10x^5 +29x4−4x3+ax2+29x^4-4x^3+ax^2 está por encima de la recta y=bx+cy=bx+c excepto en tres valores de x,x, donde la gráfica y la recta se intersecan. ¿Cuál es el mayor de esos valores?
The graph of y=x6−10x5y=x^6-10x^5 +29x4−4x3+ax2+29x^4-4x^3+ax^2 lies above the line y=bx+cy=bx+c except at three values of x,x, where the graph and the line intersect. What is the largest of those values?
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Respuesta: A
Conceptos:polinomiofactorizacióncompletar el cuadrado
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
La gráfica menos la recta es no negativa y tiene tres raíces dobles, así que es igual a ((x−p)(x−q)(x−r))2\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2.
The graph minus the line is nonnegative with three double roots, so it equals ((x−p)(x−q)(x−r))2\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2
Pista grande:
Iguala los coeficientes de x5,x4,x3x^5,x^4,x^3 para determinar el cúbico, luego factorízalo.
Match the coefficients of x5,x4,x3x^5,x^4,x^3 to determine the cubic, then factor it
Solución:
Sea f(x)f(x) la gráfica menos la recta. Es no negativa y se anula en tres puntos, cada uno una raíz doble, así que f(x)=(x3−Ax2+Bx−C)2.f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.
Igualar los coeficientes da −2A=−10⇒A=5,-2A=-10\Rightarrow A=5, luego A2+2B=29⇒B=2,A^2+2B=29\Rightarrow B=2, luego −2C−2AB=−4⇒C=−8.-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.
Así que el cúbico es x3−5x2+2x+8x^3-5x^2+2x+8 =(x+1)(x−2)(x−4),=(x+1)(x-2)(x-4), con raíces −1,2,-1,2, y 4.4. El mayor es 4.4.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Let f(x)f(x) be the graph minus the line. It is nonnegative and vanishes at three points, each a double root, so f(x)=(x3−Ax2+Bx−C)2.f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.
Matching coefficients gives −2A=−10⇒A=5,-2A=-10\Rightarrow A=5, then A2+2B=29⇒B=2,A^2+2B=29\Rightarrow B=2, then −2C−2AB=−4⇒C=−8.-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.
Thus the cubic is x3−5x2+2x+8x^3-5x^2+2x+8 =(x+1)(x−2)(x−4),=(x+1)(x-2)(x-4), with roots −1,2,-1,2, and 4.4. The largest is 4.4.
Thus, A is the correct answer.
Problema 20#20
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Problema 22#22

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