Question

La gráfica de $y=x^6-10x^5$ $+29x^4-4x^3+ax^2$ está por encima de la recta $y=bx+c$ excepto en tres valores de $x,$ donde la gráfica y la recta se intersecan. ¿Cuál es el mayor de esos valores?

The graph of $y=x^6-10x^5$ $+29x^4-4x^3+ax^2$ lies above the line $y=bx+c$ except at three values of $x,$ where the graph and the line intersect. What is the largest of those values?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

Sea $f(x)$ la gráfica menos la recta. Es no negativa y se anula en tres puntos, cada uno una raíz doble, así que $f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.$

Igualar los coeficientes da $-2A=-10\Rightarrow A=5,$ luego $A^2+2B=29\Rightarrow B=2,$ luego $-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.$

Así que el cúbico es $x^3-5x^2+2x+8$ $=(x+1)(x-2)(x-4),$ con raíces $-1,2,$ y $4.$ El mayor es $4.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $f(x)$ be the graph minus the line. It is nonnegative and vanishes at three points, each a double root, so $f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.$

Matching coefficients gives $-2A=-10\Rightarrow A=5,$ then $A^2+2B=29\Rightarrow B=2,$ then $-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.$

Thus the cubic is $x^3-5x^2+2x+8$ $=(x+1)(x-2)(x-4),$ with roots $-1,2,$ and $4.$ The largest is $4.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años