Question

Sea

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

y

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

¿Cuál es la razón entre el área de $S_2$ y el área de $S_1$ ?

Let

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

and

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

What is the ratio of the area of $S_2$ to the area of $S_1?$

$98$

$99$

$100$

$101$

$102$

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo completar el cuadrado área del círculo

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Para $j = 1, 2,$ reescribe la condición como $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$ .

For $j = 1, 2,$ rewrite the condition as $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$

Pista grande:

Completa el cuadrado para obtener discos, luego compara sus radios al cuadrado.

Complete the square to get disks, then compare their squared radii

Solución:

Para $j = 1, 2,$ la condición se convierte en $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ es decir, $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

Son discos con radios al cuadrado $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ para $S_1$ y $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ para $S_2.$

Los logaritmos exigen $x+y>0.$ Para cada disco, el cuadrado de la distancia de su centro a la recta $x+y=0$ es $\tfrac{10^{2j}}{2},$ que es $j$ mayor que el radio al cuadrado. Por tanto, ambos discos están completamente en $x+y>0,$ así que no se añadieron puntos al reescribir las desigualdades. La razón de áreas es $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $j = 1, 2,$ the condition becomes $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ i.e. $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

These are disks with squared radii $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ for $S_1$ and $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ for $S_2.$

The logarithms require $x+y>0.$ For each disk, the squared distance from its center to the line $x+y=0$ is $\tfrac{10^{2j}}{2},$ which is $j$ more than the squared radius. Hence both disks lie entirely in $x+y>0,$ so no points were added when the inequalities were rewritten. The area ratio is $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12A Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años