Question

Sea

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

y

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

¿Cuál es la razón entre el área de $S_2$ y el área de $S_1$ ?

Let

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

and

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

What is the ratio of the area of $S_2$ to the area of $S_1?$

$98$

$99$

$100$

$101$

$102$

Solución:

Para $j = 1, 2,$ la condición se convierte en $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ es decir $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

Estos son discos con radios al cuadrado $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ para $S_1$ y $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ para $S_2.$ La razón de áreas es $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $j = 1, 2,$ the condition becomes $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ i.e. $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

These are disks with squared radii $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ for $S_1$ and $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ for $S_2.$ The area ratio is $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años