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2021 AMC 12B Fall Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Para números reales x,x, sea P(x)=1+cos⁡(x)+isin⁡(x)−cos⁡(2x)−isin⁡(2x)+cos⁡(3x)+isin⁡(3x) \begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned} donde i=−1.i = \sqrt{-1}. ¿Para cuántos valores de xx con 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi se cumple P(x)=0?P(x) = 0?

For real numbers x,x, let P(x)=1+cos⁡(x)+isin⁡(x)−cos⁡(2x)−isin⁡(2x)+cos⁡(3x)+isin⁡(3x) \begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned} where i=−1.i = \sqrt{-1}. For how many values of xx with 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi does P(x)=0?P(x) = 0?

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Respuesta: A
Conceptos:número complejoidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2420
Pista pequeña:

Escribe P(x)=1+eix−e2ix+e3ixP(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix} y exige que tanto la parte real como la imaginaria se anulen.

Write P(x)=1+eix−e2ix+e3ixP(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix} and require both the real and imaginary parts to vanish

Pista grande:

La parte imaginaria se factoriza como sin⁡(2x)(2cos⁡x−1)\sin(2x)(2\cos x - 1)

The imaginary part factors as sin⁡(2x)(2cos⁡x−1)\sin(2x)(2\cos x - 1)

Solución:

Agrupa mediante la fórmula de Euler: P(x)=1+eix−e2ix+e3ix.P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}. La parte imaginaria es sin⁡x−sin⁡2x+sin⁡3x=(sin⁡x+sin⁡3x)−sin⁡2x=sin⁡2x(2cos⁡x−1). \begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}

Esto se anula cuando sin⁡2x=0\sin 2x = 0 (es decir x=0,π2,π,3π2x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}) o cos⁡x=12\cos x = \tfrac12 (es decir x=π3,5π3x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}).

Al comprobar la parte real 1+cos⁡x−cos⁡2x+cos⁡3x1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x en cada uno de estos valores se obtiene ±2\pm 2 o 1,1, nunca 0.0. Así que ningún xx hace P(x)=0.P(x) = 0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Group by Euler’s formula: P(x)=1+eix−e2ix+e3ix.P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}. The imaginary part is sin⁡x−sin⁡2x+sin⁡3x=(sin⁡x+sin⁡3x)−sin⁡2x=sin⁡2x(2cos⁡x−1). \begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}

This vanishes when sin⁡2x=0\sin 2x = 0 (so x=0,π2,π,3π2x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}) or cos⁡x=12\cos x = \tfrac12 (so x=π3,5π3x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}).

Checking the real part 1+cos⁡x−cos⁡2x+cos⁡3x1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x at each of these values gives ±2\pm 2 or 1,1, never 0.0. So no xx makes P(x)=0.P(x) = 0.

Thus, the correct answer is A.

Problema 20#20
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Problema 22#22

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