Question

¿Cuántos enteros positivos $n$ hay tales que $n$ es múltiplo de $5,$ y el mínimo común múltiplo de $5!$ y $n$ es igual a $5$ veces el máximo común divisor de $10!$ y $n$ ?

How many positive integers $n$ are there such that $n$ is a multiple of $5,$ and the least common multiple of $5!$ and $n$ equals $5$ times the greatest common divisor of $10!$ and $n?$

$12$

$24$

$36$

$48$

$72$

Solución:

Escribe $n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.$ Como $5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ no tiene otros primos, $n$ solo puede involucrar $2, 3, 5, 7.$ Igualando exponentes en $\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):$

Para $2:$ $\max(3, a) = \min(8, a),$ así que $3 \le a \le 8$ da $6$ valores. Para $3:$ $\max(1, b) = \min(4, b),$ así que $1 \le b \le 4$ da $4$ valores.

Para $5:$ $\max(1, c) = 1 + \min(2, c)$ con $c \ge 1,$ lo que fuerza $c = 3,$ dando $1$ valor. Para $7:$ $\max(0, d) = \min(1, d),$ así que $d = 0$ o $1,$ dando $2$ valores.

El total es $6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Write $n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.$ Since $5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ has no other primes, $n$ can only involve $2, 3, 5, 7.$ Matching exponents in $\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):$

For $2:$ $\max(3, a) = \min(8, a),$ so $3 \le a \le 8$ gives $6$ values. For $3:$ $\max(1, b) = \min(4, b),$ so $1 \le b \le 4$ gives $4$ values.

For $5:$ $\max(1, c) = 1 + \min(2, c)$ with $c \ge 1,$ which forces $c = 3,$ giving $1$ value. For $7:$ $\max(0, d) = \min(1, d),$ so $d = 0$ or $1,$ giving $2$ values.

The total is $6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años