Question

La suma de los ceros, el producto de los ceros, y la suma de los coeficientes de la función $f(x)=ax^2+bx+c$ son iguales. ¿Cuál de los siguientes también debe ser su valor común?

The sum of the zeros, the product of the zeros, and the sum of the coefficients of the function $f(x)=ax^2+bx+c$ are equal. Their common value must also be which of the following?

el coeficiente de $x^2$

the coefficient of $x^2$

el coeficiente de $x$

the coefficient of $x$

la intersección con el eje $y$ de la gráfica de $y=f(x)$

the $y$ -intercept of the graph of $y=f(x)$

una de las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de $y=f(x)$

one of the $x$ -intercepts of the graph of $y=f(x)$

el promedio de las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de $y=f(x)$

the mean of the $x$ -intercepts of the graph of $y=f(x)$

Solución:

El producto de los ceros es $\tfrac ca$ y la suma de los ceros es $-\tfrac ba.$ Igualándolos se obtiene $c=-b.$

Entonces la suma de los coeficientes es $a+b+c=a,$ que es el coeficiente de $x^2.$

Las otras opciones fallan en general: para $f(x)=-2x^2-4x+4$ el valor común es $-2,$ pero el coeficiente de $x$ es $-4,$ la intersección con el eje $y$ es $4,$ las intersecciones con el eje $x$ son $-1\pm\sqrt3,$ y su promedio es $-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The product of the zeros is $\tfrac ca$ and the sum of the zeros is $-\tfrac ba.$ Equating them gives $c=-b.$

Then the sum of the coefficients is $a+b+c=a,$ which is the coefficient of $x^2.$

The other choices fail in general: for $f(x)=-2x^2-4x+4$ the common value is $-2,$ but the coefficient of $x$ is $-4,$ the $y$ -intercept is $4,$ the $x$ -intercepts are $-1\pm\sqrt3,$ and their mean is $-1.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años