Question

Hay dos maneras naturales de inscribir un cuadrado en un triángulo rectángulo isósceles dado. Si se hace como en la Figura $1$ de abajo, se obtiene que el área del cuadrado es $441\text{ cm}^2.$ ¿Cuál es el área (en $\text{cm}^2$ ) del cuadrado inscrito en el mismo $\triangle ABC$ , como se muestra en la Figura $2$ de abajo?

There are two natural ways to inscribe a square in a given isosceles right triangle. If it is done as in Figure $1$ below, then one finds that the area of the square is $441\text{ cm}^2.$ What is the area (in $\text{cm}^2$ ) of the square inscribed in the same $\triangle ABC$ as shown in Figure $2$ below?

$378$

$392$

$400$

$441$

$484$

Respuesta: B

Conceptos:similar triangles inscribed square area scaling

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Usa la Figura $1$ para determinar la longitud de los catetos del triángulo rectángulo isósceles

Use Figure $1$ to determine the leg length of the isosceles right triangle

Pista grande:

En la Figura $2,$ compara el lado del cuadrado inclinado con los dos segmentos iguales que su lado opuesto determina sobre los catetos

In Figure $2,$ compare the side of the tilted square with the two equal leg segments cut off by its opposite side

Solución:

El primer cuadrado tiene lado $21,$ así que los catetos del triángulo tienen longitud $42.$ Sea $s$ el lado del cuadrado inclinado. Su lado sobre la hipotenusa es paralelo al lado opuesto que une los catetos. Ese lado opuesto tiene extremos $(0,k)$ y $(k,0),$ por lo que $s=k\sqrt2.$ La distancia entre las rectas paralelas $x+y=k$ y $x+y=42$ también es $s,$ de modo que $s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.$ Por tanto, $s=14\sqrt2,$ y su área es $s^2=392.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first square has side $21,$ so the triangle’s legs have length $42.$ Let $s$ be the side of the tilted square. Its side on the hypotenuse is parallel to the opposite side joining the legs. That opposite side has endpoints $(0,k)$ and $(k,0),$ so $s=k\sqrt2.$ The distance between the parallel lines $x+y=k$ and $x+y=42$ is also $s,$ giving $s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.$ Hence $s=14\sqrt2,$ and its area is $s^2=392.$

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años