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1979 AMC 12 Problema 21

Intenta el Problema 21 del 1979 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1979 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene longitud h,h, y el radio de su círculo inscrito es r.r. La razón entre el área del círculo y el área del triángulo es

The length of the hypotenuse of a right triangle is h,h, and the radius of the inscribed circle is r.r. The ratio of the area of the circle to the area of the triangle is

πrh+2r\frac{\pi r}{h+2r}

πrh+r\frac{\pi r}{h+r}

πr2h+r\frac{\pi r}{2h+r}

πr2h2+r2\frac{\pi r^2}{h^2+r^2}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B
Conceptos:triángulo rectángulocircunferencia inscrita, incentro e inradioárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:

Usa la fórmula K=rsK=rs para el área de un triángulo

Use the formula K=rsK=rs for a triangle’s area

Pista grande:

Para un triángulo rectángulo, relaciona la suma de los catetos con hh y rr

For a right triangle, relate the sum of the legs to hh and rr

Solución:

Si los catetos son xx y y,y, la identidad del inradio de un triángulo rectángulo es x+y=h+2r.x+y=h+2r. Por ello, el semiperímetro es s=x+y+h2=h+r. s=\frac{x+y+h}{2}=h+r. El área del triángulo es rs=r(h+r),rs=r(h+r), mientras que el área del círculo es πr2.\pi r^2. Su razón es πrh+r.\frac{\pi r}{h+r}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the legs are xx and y,y, then the right-triangle inradius identity is x+y=h+2r.x+y=h+2r. Hence the semiperimeter is s=x+y+h2=h+r. s=\frac{x+y+h}{2}=h+r. The triangle’s area is rs=r(h+r),rs=r(h+r), while the circle’s area is πr2.\pi r^2. Their ratio is πrh+r.\frac{\pi r}{h+r}.

Therefore, the correct answer is B.

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