Question

¿Para cuántos valores del coeficiente $a$ tienen las ecuaciones $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ una solución real común?

For how many values of the coefficient $a$ do the equations $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ have a common real solution?

$0$

$1$

$2$

$3$

infinitos

infinitely many

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática sistema de ecuaciones factorización

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Resta las dos ecuaciones para obtener una condición factorizada

Subtract the two equations to obtain a factored condition

Pista grande:

Examina por separado los casos $a=-1$ y $x=-1$

Check separately the cases $a=-1$ and $x=-1$

Solución:

Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}$ Si $a=-1,$ la ecuación común es $x^2-x+1=0,$ que no tiene raíces reales. En caso contrario, $x=-1,$ y al sustituir en $x^2-x-a=0$ se obtiene $a=2.$ Este valor funciona, así que exactamente un valor de $a$ cumple la condición.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Subtracting the second equation from the first gives $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}$ If $a=-1,$ the common equation is $x^2-x+1=0,$ which has no real roots. Otherwise $x=-1,$ and substitution into $x^2-x-a=0$ gives $a=2.$ This value works, so exactly one value of $a$ qualifies.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años