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1990 AMC 12 Problema 21

Intenta el Problema 21 del 1990 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1990 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Considera una pirámide P-ABCDP\text{-}ABCD cuya base ABCDABCD es cuadrada y cuyo vértice PP equidista de A,A, B,B, C,C, y D.D. Si AB=1AB=1 y ∠APB=2θ,\angle APB=2\theta, entonces el volumen de la pirámide es

Consider a pyramid P-ABCDP\text{-}ABCD whose base ABCDABCD is square and whose vertex PP is equidistant from A,A, B,B, C,C, and D.D. If AB=1AB=1 and ∠APB=2θ,\angle APB=2\theta, then the volume of the pyramid is

sin⁡θ6\frac{\sin\theta}{6}

cot⁡θ6\frac{\cot\theta}{6}

16sin⁡θ\frac1{6\sin\theta}

1−sin⁡2θ6\frac{1-\sin2\theta}{6}

cos⁡2θ6sin⁡θ\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}

Respuesta: E
Conceptos:pirámidetrigonometríacircumradiusvolumen
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:

En el triángulo isósceles APB,APB, expresa PAPA mediante la cuerda ABAB

In isosceles triangle APB,APB, express PAPA using the chord ABAB

Pista grande:

Relaciona PAPA con la altura de la pirámide y la distancia del centro del cuadrado a un vértice

Relate PAPA to the pyramid height and the center-to-vertex distance of the square

Solución:

Sea R=PA=PB.R=PA=PB. En el triángulo isósceles APB,APB, 1=AB=2Rsin⁡θ, 1=AB=2R\sin\theta, así que R=12sin⁡θ.R=\frac{1}{2\sin\theta}. Si hh es la altura de la pirámide, la distancia horizontal del centro del cuadrado a AA es 12,\frac{1}{\sqrt2}, por lo que h2=R2−12=cos⁡2θ4sin⁡2θ. \begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned} Por tanto, h=cos⁡2θ2sin⁡θ,h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta}, y el volumen es 13(1)h=cos⁡2θ6sin⁡θ.\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let R=PA=PB.R=PA=PB. In isosceles triangle APB,APB, 1=AB=2Rsin⁡θ, 1=AB=2R\sin\theta, so R=12sin⁡θ.R=\frac{1}{2\sin\theta}. If hh is the pyramid height, the horizontal distance from the square’s center to AA is 12,\frac{1}{\sqrt2}, hence h2=R2−12=cos⁡2θ4sin⁡2θ. \begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned} Thus h=cos⁡2θ2sin⁡θ,h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta}, and the volume is 13(1)h=cos⁡2θ6sin⁡θ.\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.

Thus the correct answer is E.

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