Question

Para una sucesión finita de números $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ , la suma de Cesàro de $A$ se define como $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},$ donde $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}$ Si la suma de Cesàro de la sucesión de $99$ términos $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ es $1000,$ ¿cuál es la suma de Cesàro de la sucesión de $100$ términos $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ ?

For a finite sequence $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ of numbers, the Cesàro sum of $A$ is defined to be $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},$ where $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}$ If the Cesàro sum of the $99$ -term sequence $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ is $1000,$ what is the Cesàro sum of the $100$ -term sequence $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})?$

$991$

$999$

$1000$

$1001$

$1009$

Respuesta: A

Conceptos:partial sums sequence transformation weighted average

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Convierte la primera suma de Cesàro en el valor de $S_1+\cdots+S_{99}$

Convert the first Cesàro sum into the value of $S_1+\cdots+S_{99}$

Pista grande:

Cada nueva suma parcial es $1$ más una suma parcial anterior, y hay una suma parcial inicial igual a $1$

Each new partial sum is $1$ plus an old partial sum, with one initial partial sum equal to $1$

Solución:

La condición dada afirma que $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.$ Para la nueva sucesión, las sumas parciales son $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.$ Su suma es $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.$ Al dividir entre $100$ se obtiene la nueva suma de Cesàro $991.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The given condition says $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.$ For the new sequence, the partial sums are $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.$ Their sum is $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.$ Dividing by $100$ gives the new Cesàro sum $991.$

Thus the correct answer is A.

1992 AMC 12 Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años