Question

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_k$ una sucesión aritmética finita tal que

$a_4+a_7+a_{10}=17$

y

$\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}$ Si $a_k=13,$ entonces $k=$

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_k$ be a finite arithmetic sequence with

$a_4+a_7+a_{10}=17$

and

$\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}$ If $a_k=13,$ then $k=$

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética symmetric averages common difference

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa los términos centrales para hallar $a_7$ y $a_9$

Use the middle terms to find $a_7$ and $a_9$

Pista grande:

La diferencia entre $a_7$ y $a_9$ determina la diferencia común

The difference between $a_7$ and $a_9$ determines the common difference

Solución:

Como el promedio de términos simétricos de una sucesión aritmética es el término central, $3a_7=17,\qquad 11a_9=77.$ Así, $a_7=\frac{17}{3}$ y $a_9=7,$ por lo que la diferencia común es $d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.$ Como $13-7=6=9d,$ se tiene $a_k=a_{9+9}=a_{18}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because symmetric terms of an arithmetic sequence average to the middle term, $3a_7=17,\qquad 11a_9=77.$ Thus $a_7=\frac{17}{3}$ and $a_9=7,$ so the common difference is $d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.$ Since $13-7=6=9d,$ we have $a_k=a_{9+9}=a_{18}.$ Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años