Soluciones del 1993 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Para enteros $a,$ $b,$ y $c,$ se define $\boxed{a,b,c}$ como $a^b-b^c+c^a.$ Entonces $\boxed{1,-1,2}$ es igual a

For integers $a,$ $b,$ and $c,$ define $\boxed{a,b,c}$ to mean $a^b-b^c+c^a.$ Then $\boxed{1,-1,2}$ equals

$-4$

$-2$

$0$

$2$

$4$

Conceptos:sustitución integer exponents

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Sustituye las tres entradas en el orden indicado

Substitute the three entries in their stated order

Pista grande:

Recuerda que $(-1)^2=1$ y $2^1=2$

Remember that $(-1)^2=1$ and $2^1=2$

Solución:

Por la definición, $\begin{aligned} \boxed{1,-1,2} &=1^{-1}-(-1)^2+2^1\\ &=1-1+2\\ &=2. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the definition, $\begin{aligned} \boxed{1,-1,2} &=1^{-1}-(-1)^2+2^1\\ &=1-1+2\\ &=2. \end{aligned}$ Thus the correct answer is D.

2.

En $\triangle ABC,$ $\angle A=55^\circ,$ $\angle C=75^\circ,$ $D$ está en el lado $\overline{AB}$ y $E$ está en el lado $\overline{BC}.$ Si $DB=BE,$ entonces $\angle BED=$

In $\triangle ABC,$ $\angle A=55^\circ,$ $\angle C=75^\circ,$ $D$ is on side $\overline{AB}$ and $E$ is on side $\overline{BC}.$ If $DB=BE,$ then $\angle BED=$

$50^\circ$

$55^\circ$

$60^\circ$

$65^\circ$

$70^\circ$

Conceptos:triangle angle sum triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Determina primero $\angle ABC$

First determine $\angle ABC$

Pista grande:

El triángulo $DBE$ es isósceles con vértice en $B$

Triangle $DBE$ is isosceles with vertex at $B$

Solución:

Se tiene $\angle ABC$ igual a $180^\circ-55^\circ-75^\circ=50^\circ.$ Como $D$ y $E$ pertenecen a $\overline{BA}$ y $\overline{BC},$ respectivamente, $\angle DBE=50^\circ.$ Puesto que $DB=BE,$ los dos ángulos de la base de $\triangle DBE$ miden $\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\angle ABC$ equal to $180^\circ-55^\circ-75^\circ=50^\circ.$ Because $D$ and $E$ lie on $\overline{BA}$ and $\overline{BC},$ respectively, $\angle DBE=50^\circ.$ Since $DB=BE,$ the two base angles of $\triangle DBE$ are $\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.$ Thus the correct answer is D.

3.

$\frac{15^{30}}{45^{15}}=$

$\left(\frac13\right)^{15}$

$\left(\frac13\right)^2$

$1$

$3^{15}$

$5^{15}$

Conceptos:laws of exponents simplifying powers

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Escribe $15^{30}$ como $(15^2)^{15}$

Write $15^{30}$ as $(15^2)^{15}$

Pista grande:

Combina el numerador y el denominador dentro de una sola potencia decimoquinta

Combine the numerator and denominator inside one fifteenth power

Solución:

Usando un exponente común, $\frac{15^{30}}{45^{15}} =\left(\frac{15^2}{45}\right)^{15} =5^{15}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using a common exponent, $\frac{15^{30}}{45^{15}} =\left(\frac{15^2}{45}\right)^{15} =5^{15}.$ Thus the correct answer is E.

4.

Se define la operación “ $\circ$ ” mediante $x\circ y=4x-3y+xy,$ para todos los números reales $x$ e $y.$ ¿Para cuántos números reales $y$ se cumple $3\circ y=12$ ?

Define the operation “ $\circ$ ” by $x\circ y=4x-3y+xy,$ for all real numbers $x$ and $y.$ For how many real numbers $y$ does $3\circ y=12?$

$0$

$1$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:defined operation identity equation

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Sustituye $x=3$ en la operación

Substitute $x=3$ into the operation

Pista grande:

Comprueba si se cancelan los términos que contienen $y$

Check whether the terms containing $y$ cancel

Solución:

Para todo número real $y,$ $3\circ y=4(3)-3y+3y=12.$ Por consiguiente, todo número real $y$ sirve, así que hay más de $4$ de estos números. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For every real $y,$ $3\circ y=4(3)-3y+3y=12.$ Hence every real number $y$ works, so there are more than $4$ such numbers. Thus the correct answer is E.

5.

El año pasado una bicicleta costaba $\$160$ y un casco de ciclismo costaba $\$40.$ Este año, el costo de la bicicleta aumentó un $5\%,$ y el costo del casco aumentó un $10\%.$ El aumento porcentual del costo combinado de la bicicleta y el casco es

Last year a bicycle cost $\$160$ and a cycling helmet cost $\$40.$ This year the cost of the bicycle increased by $5\%,$ and the cost of the helmet increased by $10\%.$ The percent increase in the combined cost of the bicycle and the helmet is

$6\%$

$7\%$

$7.5\%$

$8\%$

$15\%$

Conceptos:percent increase weighted average

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Halla el aumento en dólares de cada artículo

Find the dollar increase for each item

Pista grande:

Compara el aumento total con el costo combinado del año pasado

Compare the total increase with last year’s combined cost

Solución:

La bicicleta aumenta $\$8$ y el casco $\$4,$ para un aumento total de $\$12.$ El costo combinado del año pasado era $\$200,$ así que el aumento porcentual es $\frac{12}{200}\cdot100\%=6\%.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The bicycle increases by $\$8$ and the helmet by $\$4,$ for a total increase of $\$12.$ Last year’s combined cost was $\$200,$ so the percent increase is $\frac{12}{200}\cdot100\%=6\%.$ Thus the correct answer is A.

6.

$\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}}}=$

$\sqrt2$

$16$

$32$

$12^{\frac{2}{3}}$

$512.5$

Conceptos:factoring powers radicals

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Reescribe cada potencia con base $2$

Rewrite every power with base $2$

Pista grande:

Extrae como factor la menor potencia del numerador y del denominador

Factor the smaller power from the numerator and denominator

Solución:

Escribiendo todos los términos como potencias de $2,$ $\begin{aligned} \frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}} &=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}\\ &=\frac{2^{20}(2^{10}+1)} {2^{12}(1+2^{10})}\\ &=2^8. \end{aligned}$ Su raíz cuadrada positiva es $2^4=16.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Writing all terms as powers of $2,$ $\begin{aligned} \frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}} &=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}\\ &=\frac{2^{20}(2^{10}+1)} {2^{12}(1+2^{10})}\\ &=2^8. \end{aligned}$ Its positive square root is $2^4=16.$ Thus the correct answer is B.

7.

El símbolo $R_k$ representa un entero cuya escritura en base diez es una sucesión de $k$ unos. Por ejemplo, $R_3=111,$ $R_5=11111,$ etc. Al dividir $R_{24}$ entre $R_4,$ el cociente $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ es un entero cuya escritura en base diez contiene solamente unos y ceros. El número de ceros en $Q$ es

The symbol $R_k$ stands for an integer whose base-ten representation is a sequence of $k$ ones. For example, $R_3=111,$ $R_5=11111,$ etc. When $R_{24}$ is divided by $R_4,$ the quotient $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ is an integer whose base-ten representation is a sequence containing only ones and zeros. The number of zeros in $Q$ is

$10$

$11$

$12$

$13$

$15$

Conceptos:repunits geometric series valor posicional

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa $R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)$

Use $R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)$

Pista grande:

El cociente tiene seis unos, separados de cuatro en cuatro posiciones

The quotient has six ones, each four places apart

Solución:

Al agrupar los $24$ dígitos en seis bloques de cuatro se obtiene $\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}$ Así, $Q$ tiene seis unos, con tres ceros entre cada par consecutivo. Por lo tanto, tiene $5\cdot3=15$ ceros. La respuesta correcta es E.

Grouping the $24$ digits into six blocks of four gives $\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}$ Thus $Q$ has six ones, with three zeros between each consecutive pair. It therefore has $5\cdot3=15$ zeros. Thus the correct answer is E.

8.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos de radio $1$ que están en el mismo plano y son tangentes entre sí. ¿Cuántos círculos de radio $3$ están en este plano y son tangentes tanto a $C_1$ como a $C_2$ ?

Let $C_1$ and $C_2$ be circles of radius $1$ that are in the same plane and tangent to each other. How many circles of radius $3$ are in this plane and tangent to both $C_1$ and $C_2?$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:circunferencias tangentes circle intersections análisis por casos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Un círculo de radio $3$ puede ser tangente interior o exteriormente a cada círculo unitario

A radius- $3$ circle can be internally or externally tangent to each unit circle

Pista grande:

Para su centro, considera los pares de distancias $(4,4),$ $(2,2),$ $(4,2),$ y $(2,4)$

For its center, consider distance pairs $(4,4),$ $(2,2),$ $(4,2),$ and $(2,4)$

Solución:

Los centros de los círculos unitarios tangentes están separados $2$ unidades. Para tangencia exterior, el nuevo centro debe estar a $4$ unidades del centro de un círculo unitario; para tangencia interior, a $2$ unidades. El par de distancias $(4,4)$ da dos centros, al igual que $(2,2).$ Cada par mixto $(4,2)$ y $(2,4)$ da un centro porque los círculos correspondientes para los centros son tangentes interiormente. Por tanto, hay $2+2+1+1=6$ círculos. La respuesta correcta es D.

Let the centers of the tangent unit circles be $2$ units apart. The new center must be $4$ units from a unit-circle center for external tangency and $2$ units away for internal tangency. The distance pair $(4,4)$ gives two centers, as does $(2,2).$ Each mixed pair $(4,2)$ and $(2,4)$ gives one center because the corresponding center-circles are internally tangent. Hence there are $2+2+1+1=6$ circles. Thus the correct answer is D.

9.

El país $A$ tiene el $c\%$ de la población mundial y posee el $d\%$ de la riqueza mundial. El país $B$ tiene el $e\%$ de la población mundial y el $f\%$ de su riqueza. Supón que los ciudadanos de $A$ comparten por igual la riqueza de $A$ , y que los de $B$ comparten por igual la riqueza de $B$ . Halla la razón entre la riqueza de un ciudadano de $A$ y la de un ciudadano de $B.$

Country $A$ has $c\%$ of the world’s population and owns $d\%$ of the world’s wealth. Country $B$ has $e\%$ of the world’s population and $f\%$ of its wealth. Assume that the citizens of $A$ share the wealth of $A$ equally, and assume that those of $B$ share the wealth of $B$ equally. Find the ratio of the wealth of a citizen of $A$ to the wealth of a citizen of $B.$

$\frac{cd}{ef}$

$\frac{ce}{df}$

$\frac{cf}{de}$

$\frac{de}{cf}$

$\frac{df}{ce}$

Conceptos:ratios per-capita quantities complex fractions

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

La riqueza per cápita es la riqueza total dividida entre la población

Per-capita wealth is total wealth divided by population

Pista grande:

Forma la razón $\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}$

Form the ratio $\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}$

Solución:

La riqueza per cápita del país $A$ es proporcional a $\frac{d}{c},$ mientras que la del país $B$ es proporcional a $\frac{f}{e}.$ Su razón es $\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}=\frac{de}{cf}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Country $A$ ’s per-capita share is proportional to $\frac{d}{c},$ while country $B$ ’s is proportional to $\frac{f}{e}.$ Their ratio is $\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}=\frac{de}{cf}.$ Thus the correct answer is D.

10.

Sea $r$ el número que resulta al triplicar tanto la base como el exponente de $a^b$ , donde $a,$ $b\gt0.$ Si $r$ es igual al producto de $a^b$ y $x^b$ , donde $x\gt0,$ entonces $x=$

Let $r$ be the number that results when both the base and the exponent of $a^b$ are tripled, where $a,$ $b\gt0.$ If $r$ equals the product of $a^b$ and $x^b$ where $x\gt0,$ then $x=$

$3$

$3a^2$

$27a^2$

$2a^{3b}$

$3a^{2b}$

Conceptos:laws of exponents algebraic substitution

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Triplicar ambas partes transforma $a^b$ en $(3a)^{3b}$

Tripling both parts changes $a^b$ to $(3a)^{3b}$

Pista grande:

Reescribe la igualdad de modo que ambos lados sean potencias de exponente $b$

Rewrite the equality so both sides are $b$ th powers

Solución:

Se tiene $r=(3a)^{3b}=\bigl(27a^3\bigr)^b.$ Además, $r=a^bx^b=(ax)^b.$ Como las cantidades son positivas, podemos igualar las bases; así, $ax=27a^3$ y $x=27a^2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have $r=(3a)^{3b}=\bigl(27a^3\bigr)^b.$ Also $r=a^bx^b=(ax)^b.$ Positivity allows us to equate the bases, so $ax=27a^3$ and $x=27a^2.$ Thus the correct answer is C.

11.

Si $\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,$ ¿cuántos dígitos tiene la representación en base diez de $x$ ?

If $\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,$ then how many digits are in the base-ten representation for $x?$

$5$

$7$

$9$

$11$

$13$

Conceptos:nested logarithms powers of two decimal digits

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Deshaz los logaritmos uno a uno, comenzando por el exterior

Undo the logarithms one at a time from the outside

Pista grande:

Los valores sucesivos son $2,$ $4,$ y $16$ antes de despejar $x$

The successive values are $2,$ $4,$ and $16$ before solving for $x$

Solución:

Al deshacer los logaritmos se obtiene $\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}$ Este número tiene $5$ dígitos decimales. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Undoing the logarithms gives $\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}$ This number has $5$ decimal digits. Thus the correct answer is A.

12.

Si $f(2x)=\frac{2}{2+x}$ para todo $x\gt0,$ entonces $2f(x)=$

If $f(2x)=\frac{2}{2+x}$ for all $x\gt0,$ then $2f(x)=$

$\frac{2}{1+x}$

$\frac{2}{2+x}$

$\frac{4}{1+x}$

$\frac{4}{2+x}$

$\frac{8}{4+x}$

Conceptos:function substitution rational expressions

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Para obtener $f(x),$ sustituye la variable de entrada dada por $\frac{x}{2}$

To obtain $f(x),$ replace the given input variable by $\frac{x}{2}$

Pista grande:

Simplifica $2f(x)=2\left(\frac{2}{2+\frac{x}{2}}\right)$

Simplify $2f(x)=2\left(\frac{2}{2+\frac{x}{2}}\right)$

Solución:

Al sustituir el $x$ dado por $\frac{x}{2}$ se obtiene $f(x)=\frac{2}{2+\frac{x}{2}}=\frac{4}{4+x}.$ Por lo tanto, $2f(x)=\frac{8}{4+x}.$ Así, la respuesta correcta es E.

Replacing the given $x$ by $\frac{x}{2}$ yields $f(x)=\frac{2}{2+\frac{x}{2}}=\frac{4}{4+x}.$ Therefore $2f(x)=\frac{8}{4+x}.$ Thus the correct answer is E.

13.

Un cuadrado de perímetro $20$ está inscrito en un cuadrado de perímetro $28.$ ¿Cuál es la mayor distancia entre un vértice del cuadrado interior y un vértice del cuadrado exterior?

A square of perimeter $20$ is inscribed in a square of perimeter $28.$ What is the greatest distance between a vertex of the inner square and a vertex of the outer square?

$\sqrt{58}$

$\frac{7\sqrt5}{2}$

$8$

$\sqrt{65}$

$5\sqrt3$

Conceptos:inscribed square Pythagorean theorem distance

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Un vértice del cuadrado interior divide un lado exterior en segmentos de longitudes $x$ e $y$

A vertex of the inner square divides an outer side into lengths $x$ and $y$

Pista grande:

Usa $x+y=7$ y $x^2+y^2=25$

Use $x+y=7$ and $x^2+y^2=25$

Solución:

Las longitudes de los lados exterior e interior son $7$ y $5.$ En cualquier vértice interior, los dos segmentos del lado exterior tienen longitudes $x$ e $y$ , con $x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.$ Por tanto, $2xy=49-25=24,$ así que $\{x,y\}=\{3,4\}.$ Desde un vértice interior situado en un lado, el vértice exterior opuesto más lejano está a un desplazamiento horizontal de $4$ y vertical de $7.$ La mayor distancia es, por lo tanto, $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.$ La respuesta correcta es D.

The outer and inner side lengths are $7$ and $5.$ At any inner vertex, the two pieces of the outer side have lengths $x$ and $y$ with $x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.$ Hence $2xy=49-25=24,$ so $\{x,y\}=\{3,4\}.$ From an inner vertex on one side, the farther opposite outer vertex has horizontal displacement $4$ and vertical displacement $7.$ The greatest distance is therefore $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.$ Thus the correct answer is D.

14.

El pentágono convexo $ABCDE$ satisface $\angle A=\angle B=120^\circ,$ $EA=AB=BC=2$ y $CD=DE=4.$ ¿Cuál es el área de $ABCDE$ ?

The convex pentagon $ABCDE$ has $\angle A=\angle B=120^\circ,$ $EA=AB=BC=2$ and $CD=DE=4.$ What is the area of $ABCDE?$

$10$

$7\sqrt3$

$15$

$9\sqrt3$

$12\sqrt5$

Conceptos:pentagon area isosceles trapezoid triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Traza $\overline{CE}$ para dividir el pentágono en un trapecio y un triángulo

Draw $\overline{CE}$ to split the pentagon into a trapezoid and a triangle

Pista grande:

Las condiciones sobre los ángulos dan $CE=4,$ por lo que $\triangle CDE$ es equilátero

The angle conditions give $CE=4,$ so $\triangle CDE$ is equilateral

Solución:

Coloca $A=(0,0)$ y $B=(2,0).$ Los ángulos de $120^\circ$ y las longitudes $EA=BC=2$ dan $E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).$ Así, $ABCE$ es un trapecio de altura $\sqrt3$ y bases $2$ y $4,$ por lo que su área es $3\sqrt3.$ Además, $CE=4=CD=DE,$ de modo que $\triangle CDE$ es equilátero y tiene área $4\sqrt3.$ El área total es $7\sqrt3.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $A=(0,0)$ and $B=(2,0).$ The $120^\circ$ angles and side lengths $EA=BC=2$ give $E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).$ Thus $ABCE$ is a trapezoid of height $\sqrt3$ and bases $2$ and $4,$ so its area is $3\sqrt3.$ Also $CE=4=CD=DE,$ making $\triangle CDE$ equilateral with area $4\sqrt3.$ The total area is $7\sqrt3.$ Thus the correct answer is B.

15.

¿Para cuántos valores de $n$ tendrá un polígono regular de $n$ lados ángulos interiores cuyas medidas en grados sean enteras?

For how many values of $n$ will an $n$ -sided regular polygon have interior angles with integral degree measures?

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

Conceptos:polígono regular divisors factorización en primos

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Un ángulo interior mide $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

An interior angle is $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

Pista grande:

Cuenta los divisores $n$ de $360$ y excluye los valores menores que $3$

Count divisors $n$ of $360$ and exclude values below $3$

Solución:

El ángulo interior mide $180^\circ-\frac{360^\circ}{n},$ y es entero exactamente cuando $360$ es divisible por $n.$ Como $360=2^3\cdot3^2\cdot5,$ tiene $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ divisores positivos. Al excluir $n=1$ y $n=2$ quedan $22$ valores admisibles. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The interior angle is $180^\circ-\frac{360^\circ}{n},$ which is integral exactly when $360$ is divisible by $n.$ Since $360=2^3\cdot3^2\cdot5,$ it has $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ positive divisors. Excluding $n=1$ and $n=2$ leaves $22$ allowable values. Thus the correct answer is D.

16.

Considera la sucesión no decreciente de enteros positivos $\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}$ en la que el $n$ -ésimo entero positivo aparece $n$ veces. El residuo al dividir el término número $1993$ entre $5$ es

Consider the non-decreasing sequence of positive integers $\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}$ in which the $n$ th positive integer appears $n$ times. The remainder when the $1993$ rd term is divided by $5$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:triangular numbers indexed sequence aritmética modular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La última aparición de $n$ ocupa la posición $\frac{n(n+1)}2$

The final occurrence of $n$ is in position $\frac{n(n+1)}2$

Pista grande:

Compara $1993$ con los números triangulares correspondientes a $62$ y $63$

Compare $1993$ with the triangular numbers for $62$ and $63$

Solución:

El último $62$ aparece en la posición $\frac{62\cdot63}{2}=1953,$ mientras que el último $63$ aparece en la posición $\frac{63\cdot64}{2}=2016.$ Por consiguiente, el término número $1993$ es $63,$ cuyo residuo módulo $5$ es $3.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The last $62$ occurs in position $\frac{62\cdot63}{2}=1953,$ while the last $63$ occurs in position $\frac{63\cdot64}{2}=2016.$ Thus the $1993$ rd term is $63,$ whose remainder modulo $5$ is $3.$ Thus the correct answer is D.

17.

Amy pintó una diana sobre la carátula cuadrada de un reloj usando las posiciones de las horas como fronteras. [Véase la figura.] Si $t$ es el área de una de las ocho regiones triangulares, como la que está entre las posiciones de las $12$ y la $1$ , y $q$ es el área de uno de los cuatro cuadriláteros de las esquinas, como el que está entre las posiciones de la $1$ y las $2$ , entonces $\frac qt=$

Amy painted a dart board over a square clock face using the “hour positions” as boundaries. [See figure.] If $t$ is the area of one of the eight triangular regions such as that between $12$ o’clock and $1$ o’clock, and $q$ is the area of one of the four corner quadrilaterals such as that between $1$ o’clock and $2$ o’clock, then $\frac qt=$

$2\sqrt3-2$

$\frac32$

$\frac{\sqrt5+1}{2}$

$\sqrt3$

$2$

Conceptos:razón de áreas geometría analítica clock angles

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Cambia la escala del cuadrado para que sus lados sean $x=\pm1$ e $y=\pm1$

Scale the square so its sides are $x=\pm1$ and $y=\pm1$

Pista grande:

El rayo correspondiente a la $1$ corta el lado superior en $x=\frac{1}{\sqrt3}$

The $1$ o’clock ray meets the top side at $x=\frac{1}{\sqrt3}$

Solución:

Sea el cuadrado $[-1,1]^2$ y su centro el origen. El rayo correspondiente a la $1$ corta el lado superior en $(\frac{1}{\sqrt3},1),$ por lo que $t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}.$ El cuadrilátero de la esquina tiene vértices $(0,0),$ $(\frac{1}{\sqrt3},1),$ $(1,1),$ $(1,\frac{1}{\sqrt3}).$ Su área es $q=1-\frac1{\sqrt3}.$ Por tanto, $\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2.$ La respuesta correcta es A.

Let the square be $[-1,1]^2$ and its center be the origin. The $1$ o’clock ray meets the top side at $(\frac{1}{\sqrt3},1),$ so $t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}.$ The corner quadrilateral has vertices $(0,0),$ $(\frac{1}{\sqrt3},1),$ $(1,1),$ $(1,\frac{1}{\sqrt3}).$ Its area is $q=1-\frac1{\sqrt3}.$ Hence $\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2.$ Thus the correct answer is A.

18.

Al y Barb comienzan sus nuevos trabajos el mismo día. El horario de Al consiste en $3$ días de trabajo seguidos de $1$ día de descanso. El horario de Barb consiste en $7$ días de trabajo seguidos de $3$ días de descanso. Durante sus primeros $1000$ días, ¿cuántos días descansan ambos a la vez?

Al and Barb start their new jobs on the same day. Al’s schedule is $3$ work-days followed by $1$ rest-day. Barb’s schedule is $7$ work-days followed by $3$ rest-days. On how many of their first $1000$ days do both have rest-days on the same day?

$48$

$50$

$72$

$75$

$100$

Conceptos:periodic schedules mínimo común múltiplo counting

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

El horario combinado se repite cada $\operatorname{lcm}(4,10)$ días

The combined schedule repeats every $\operatorname{lcm}(4,10)$ days

Pista grande:

Dentro de un ciclo de $20$ días, compara los días de descanso de Al con los de Barb

Within one $20$ -day cycle, compare Al’s rest days with Barb’s

Solución:

El patrón combinado se repite cada $20$ días. Al descansa los días $4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $20,$ mientras que Barb descansa los días $8,$ $9,$ $10,$ $18,$ $19,$ $20.$ Sus días de descanso comunes son $8$ y $20,$ dos por ciclo. Hay $\frac{1000}{20}=50$ ciclos, lo que da $2\cdot50=100$ días de descanso comunes. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The combined pattern repeats every $20$ days. Al rests on days $4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $20,$ while Barb rests on days $8,$ $9,$ $10,$ $18,$ $19,$ $20.$ Their common rest days are $8$ and $20,$ two per cycle. There are $\frac{1000}{20}=50$ cycles, giving $2\cdot50=100$ common rest days. Thus the correct answer is E.

19.

¿Cuántos pares ordenados $(m,n)$ de enteros positivos son soluciones de $\frac4m+\frac2n=1?$

How many ordered pairs $(m,n)$ of positive integers are solutions to $\frac4m+\frac2n=1?$

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:Diophantine equation factorización divisors

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Elimina los denominadores y completa un producto que contenga $m-4$ y $n-2$

Clear denominators and complete a product involving $m-4$ and $n-2$

Pista grande:

La ecuación es equivalente a $(m-4)(n-2)=8$

The equation is equivalent to $(m-4)(n-2)=8$

Solución:

Al eliminar los denominadores y reordenar se obtiene $\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}$ Ambos factores deben ser positivos. Los cuatro pares ordenados de factores positivos de $8$ dan $\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Clearing denominators and rearranging gives $\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}$ Both factors must be positive. The four ordered positive factor pairs of $8$ give $\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}$ Thus the correct answer is D.

20.

Considera la ecuación $10z^2-3iz-k=0,$ donde $z$ es una variable compleja e $i^2=-1.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Consider the equation $10z^2-3iz-k=0,$ where $z$ is a complex variable and $i^2=-1.$ Which of the following statements is true?

Para todo número real positivo $k,$ ambas raíces son imaginarias puras.

For all positive real numbers $k,$ both roots are pure imaginary.

Para todo número real negativo $k,$ ambas raíces son imaginarias puras.

For all negative real numbers $k,$ both roots are pure imaginary.

Para todo número imaginario puro $k,$ ambas raíces son reales y racionales.

For all pure imaginary numbers $k,$ both roots are real and rational.

Para todo número imaginario puro $k,$ ambas raíces son reales e irracionales.

For all pure imaginary numbers $k,$ both roots are real and irrational.

Para todo número complejo $k,$ ninguna raíz es real.

For all complex numbers $k,$ neither root is real.

Conceptos:quadratic formula complex numbers pure imaginary numbers

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Aplica la fórmula cuadrática y simplifica el discriminante

Apply the quadratic formula and simplify the discriminant

Pista grande:

Para un $k$ real negativo, determina el tipo de $\sqrt{-9+40k}$

For negative real $k,$ determine the type of $\sqrt{-9+40k}$

Solución:

Las raíces son $z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.$ Si $k$ es real y negativo, entonces $-9+40k$ es real y negativo, por lo que sus raíces cuadradas son imaginarias puras. Así, ambos valores resultantes de $z$ son imaginarios puros. Las demás afirmaciones universales son falsas; por ejemplo, basta tomar $k=1,$ $i,$ o $0$ según corresponda. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The roots are $z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.$ If $k$ is negative and real, then $-9+40k$ is negative real, so its square roots are pure imaginary. Both resulting values of $z$ are therefore pure imaginary. The other universal claims fail, for example by taking $k=1,$ $i,$ or $0$ as appropriate. Thus the correct answer is B.

21.

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_k$ una sucesión aritmética finita tal que

$a_4+a_7+a_{10}=17$

y

$\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}$ Si $a_k=13,$ entonces $k=$

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_k$ be a finite arithmetic sequence with

$a_4+a_7+a_{10}=17$

and

$\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}$ If $a_k=13,$ then $k=$

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

Conceptos:sucesión aritmética symmetric averages common difference

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa los términos centrales para hallar $a_7$ y $a_9$

Use the middle terms to find $a_7$ and $a_9$

Pista grande:

La diferencia entre $a_7$ y $a_9$ determina la diferencia común

The difference between $a_7$ and $a_9$ determines the common difference

Solución:

Como el promedio de términos simétricos de una sucesión aritmética es el término central, $3a_7=17,\qquad 11a_9=77.$ Así, $a_7=\frac{17}{3}$ y $a_9=7,$ por lo que la diferencia común es $d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.$ Como $13-7=6=9d,$ se tiene $a_k=a_{9+9}=a_{18}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because symmetric terms of an arithmetic sequence average to the middle term, $3a_7=17,\qquad 11a_9=77.$ Thus $a_7=\frac{17}{3}$ and $a_9=7,$ so the common difference is $d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.$ Since $13-7=6=9d,$ we have $a_k=a_{9+9}=a_{18}.$ Thus the correct answer is B.

22.

Se disponen veinte bloques cúbicos como se muestra. Primero se colocan $10$ en un patrón triangular; luego una capa de $6,$ también en patrón triangular, se centra sobre los $10;$ después una capa de $3,$ dispuestos en patrón triangular, se centra sobre los $6;$ finalmente, se centra un bloque sobre la tercera capa. Los bloques de la capa inferior se numeran del $1$ al $10$ en algún orden. A cada bloque de las capas $2,$ $3$ y $4$ se le asigna la suma de los números de los tres bloques sobre los que descansa. Halla el menor número posible que podría asignarse al bloque superior.

Twenty cubical blocks are arranged as shown. First, $10$ are arranged in a triangular pattern; then a layer of $6,$ arranged in a triangular pattern, is centered on the $10;$ then a layer of $3,$ arranged in a triangular pattern, is centered on the $6;$ and finally one block is centered on top of the third layer. The blocks in the bottom layer are numbered $1$ through $10$ in some order. Each block in layers $2,$ $3$ and $4$ is assigned the number which is the sum of the numbers assigned to the three blocks on which it rests. Find the smallest possible number which could be assigned to the top block.

$55$

$83$

$114$

$137$

$144$

Conceptos:weighted sum rearrangement principle triangular stack

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Determina cuántas veces contribuye cada bloque inferior al número de arriba

Determine how many times each bottom block contributes to the top

Pista grande:

El centro, las seis posiciones del borde y las tres esquinas tienen coeficientes $6,$ $3,$ y $1$

The center, six edge positions, and three corner positions have coefficients $6,$ $3,$ and $1$

Solución:

Al desarrollar las sumas capa por capa, el valor superior es $6c+3(e_1+e_2+e_3$ ${}+e_4+e_5+e_6)$ ${}+(v_1+v_2+v_3),$ donde $c$ es el bloque central de la capa inferior, los $e_i$ son los seis bloques del borde que no están en las esquinas y los $v_i$ son los tres bloques de las esquinas. Para minimizar esta suma ponderada, asigna $1$ a la posición de coeficiente $6,$ los números $2,$ $\ldots,$ $7$ a las posiciones de coeficiente $3,$ y $8,$ $9,$ $10$ a las posiciones de coeficiente $1.$ El mínimo es $6+3(2+3+4$ ${}+5+6+7)$ ${}+(8+9+10)=114.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding the sums layer by layer, the top value is $6c+3(e_1+e_2+e_3$ ${}+e_4+e_5+e_6)$ ${}+(v_1+v_2+v_3),$ where $c$ is the center bottom block, the $e_i$ are the six non-corner boundary blocks, and the $v_i$ are the three corner blocks. To minimize this weighted sum, assign $1$ to the coefficient- $6$ position, $2,$ $\ldots,$ $7$ to the coefficient- $3$ positions, and $8,$ $9,$ $10$ to the coefficient- $1$ positions. The minimum is $6+3(2+3+4$ ${}+5+6+7)$ ${}+(8+9+10)=114.$ Thus the correct answer is C.

23.

Los puntos $A,$ $B,$ $C$ y $D$ están en un círculo de diámetro $1,$ y $X$ está sobre el diámetro $\overline{AD}.$ Si $BX=CX$ y $3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ,$ entonces $AX=$

Points $A,$ $B,$ $C$ and $D$ are on a circle of diameter $1,$ and $X$ is on diameter $\overline{AD}.$ If $BX=CX$ and $3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ,$ then $AX=$

$\cos6^\circ\cos12^\circ\sec18^\circ$

$\cos6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ$

$\cos6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ$

$\sin6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ$

$\sin6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ$

Conceptos:circle geometry bisectriz ley de los senos

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Como $BX=CX,$ el diámetro que pasa por $X$ biseca $\angle BXC$

Because $BX=CX,$ the diameter through $X$ bisects $\angle BXC$

Pista grande:

Halla $AB$ usando el triángulo rectángulo $ABD,$ y luego aplica la ley de los senos en $\triangle ABX$

Find $AB$ using right triangle $ABD,$ then apply the Law of Sines in $\triangle ABX$

Solución:

Como $BX=CX,$ la recta $AD$ biseca $\angle BXC,$ y la simetría también da $\angle BAD=6^\circ.$ Como $AD=1$ es un diámetro, $\angle ABD=90^\circ,$ por lo que $AB=\cos6^\circ.$ Además, $\begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered}$ La ley de los senos en $\triangle ABX$ da $\begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $BX=CX,$ the line $AD$ bisects $\angle BXC,$ and symmetry also gives $\angle BAD=6^\circ.$ Because $AD=1$ is a diameter, $\angle ABD=90^\circ,$ so $AB=\cos6^\circ.$ Also $\begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered}$ The Law of Sines in $\triangle ABX$ gives $\begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

24.

Una caja contiene $3$ centavos brillantes y $4$ opacos. Se extraen los centavos al azar, uno a uno y sin reemplazo. Si la probabilidad de que hagan falta más de cuatro extracciones para que aparezca el tercer centavo brillante es $\frac{a}{b}$ , y $\frac{a}{b}$ está en su mínima expresión, entonces $a+b=$

A box contains $3$ shiny pennies and $4$ dull pennies. One by one, pennies are drawn at random from the box and not replaced. If the probability is $\frac{a}{b}$ that it will take more than four draws until the third shiny penny appears and $\frac{a}{b}$ is in lowest terms, then $a+b=$

$11$

$20$

$35$

$58$

$66$

Conceptos:probabilidad complementaria combinaciones random ordering

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Considera que los tres centavos brillantes ocupan tres de las siete posiciones de extracción

View the three shiny pennies as occupying three of seven draw positions

Pista grande:

Resta los casos en los que los tres centavos brillantes aparecen entre las primeras cuatro posiciones

Subtract the cases in which all three shiny pennies occur among the first four positions

Solución:

Los centavos brillantes ocupan un subconjunto de $3$ elementos elegido uniformemente entre las $7$ posiciones de extracción. Hay $\binom73=35$ posibilidades. El tercer centavo brillante aparece a más tardar en la extracción $4$ exactamente cuando las tres posiciones brillantes están entre las primeras cuatro, lo que ocurre en $\binom43=4$ casos. La probabilidad pedida es $1-\frac4{35}=\frac{31}{35}.$ Por lo tanto, $a+b=31+35=66.$ Así, la respuesta correcta es E.

The shiny pennies occupy a uniformly chosen $3$ -element subset of the $7$ draw positions. There are $\binom73=35$ possibilities. The third shiny penny appears by draw $4$ exactly when all three shiny positions lie among the first four, which occurs in $\binom43=4$ cases. The requested probability is $1-\frac4{35}=\frac{31}{35}.$ Therefore $a+b=31+35=66.$ Thus the correct answer is E.

25.

Sea $S$ el conjunto de puntos sobre los rayos que forman los lados de un ángulo de $120^\circ$ , y sea $P$ un punto fijo dentro del ángulo y sobre su bisectriz. Considera todos los triángulos equiláteros distintos $PQR$ con $Q$ y $R$ en $S.$ (Los puntos $Q$ y $R$ pueden estar sobre el mismo rayo, e intercambiar los nombres de $Q$ y $R$ no crea un triángulo distinto.) Hay

Let $S$ be the set of points on the rays forming the sides of a $120^\circ$ angle, and let $P$ be a fixed point inside the angle on the angle bisector. Consider all distinct equilateral triangles $PQR$ with $Q$ and $R$ in $S.$ (Points $Q$ and $R$ may be on the same ray, and switching the names of $Q$ and $R$ does not create a distinct triangle.) There are

exactamente $2$ de estos triángulos.

exactly $2$ such triangles.

exactamente $3$ de estos triángulos.

exactly $3$ such triangles.

exactamente $7$ de estos triángulos.

exactly $7$ such triangles.

exactamente $15$ de estos triángulos.

exactly $15$ such triangles.

más de $15$ de estos triángulos.

more than $15$ such triangles.

Conceptos:equilateral triangles congruence infinite family

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Llama $O$ al vértice del ángulo y elige $A$ sobre un rayo de modo que $\triangle AOP$ sea equilátero

Call the angle’s vertex $O$ and choose $A$ on one ray so that $\triangle AOP$ is equilateral

Pista grande:

Varía continuamente un punto $Q$ sobre $\overline{AO}$ y construye el punto correspondiente $R$ sobre el otro rayo

Vary a point $Q$ continuously on $\overline{AO}$ and construct a matching point $R$ on the other ray

Solución:

Sea $O$ el vértice. Elige $A$ sobre un rayo de modo que $OA=OP;$ como $OP$ biseca el ángulo de $120^\circ$ , $\triangle AOP$ es equilátero. Para cualquier $Q$ en $\overline{AO},$ elige $R$ en el otro rayo de modo que $OR=AQ.$ Entonces $\triangle POR\cong\triangle PAQ$ por LAL. Por consiguiente, $PQ=PR$ y $\angle QPR=\angle APO=60^\circ,$ de modo que $\triangle PQR$ es equilátero. Un continuo de elecciones de $Q$ produce triángulos distintos, así que ciertamente hay más de $15.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $O$ be the vertex. Choose $A$ on one ray so that $OA=OP;$ because $OP$ bisects the $120^\circ$ angle, $\triangle AOP$ is equilateral. For any $Q$ on $\overline{AO},$ choose $R$ on the other ray with $OR=AQ.$ Then $\triangle POR\cong\triangle PAQ$ by SAS. Consequently $PQ=PR$ and $\angle QPR=\angle APO=60^\circ,$ so $\triangle PQR$ is equilateral. Continuously many choices of $Q$ give distinct triangles, hence certainly more than $15.$ Thus the correct answer is E.

26.

Halla el mayor valor positivo que alcanza la función $\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}$ donde $x$ es un número real.

Find the largest positive value attained by the function $\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}$ $x$ a real number.

$\sqrt7-1$

$3$

$2\sqrt3$

$4$

$\sqrt{55}-\sqrt5$

Conceptos:radical function domain maximizing expression

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Factoriza ambos radicandos usando el factor común $8-x$

Factor both radicands using the common factor $8-x$

Pista grande:

En el dominio $6\le x\le8,$ racionaliza $\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})$

On the domain $6\le x\le8,$ rationalize $\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})$

Solución:

Ambos radicales son reales exactamente cuando $6\le x\le8.$ Al factorizar y racionalizar, $\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}$ En este intervalo, el numerador disminuye mientras el denominador aumenta, por lo que el máximo ocurre en $x=6.$ Su valor es $f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Both radicals are real exactly when $6\le x\le8.$ Factoring and rationalizing, $\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}$ On this interval the numerator decreases while the denominator increases, so the maximum occurs at $x=6.$ Its value is $f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.$ Thus the correct answer is C.

27.

Los lados de $\triangle ABC$ tienen longitudes $6,$ $8$ y $10.$ Un círculo de centro $P$ y radio $1$ rueda por el interior de $\triangle ABC,$ manteniéndose siempre tangente al menos a un lado del triángulo. Cuando $P$ vuelve por primera vez a su posición inicial, ¿qué distancia ha recorrido $P$ ?

The sides of $\triangle ABC$ have lengths $6,$ $8$ and $10.$ A circle with center $P$ and radius $1$ rolls around the inside of $\triangle ABC,$ always remaining tangent to at least one side of the triangle. When $P$ first returns to its original position, through what distance has $P$ traveled?

$10$

$12$

$14$

$15$

$17$

Conceptos:inner parallel triangle angle bisectors triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

El centro recorre un triángulo menor cuyos lados son paralelos a los lados originales

The center traces a smaller triangle whose sides are parallel to the original sides

Pista grande:

El triángulo original $6$ - $8$ - $10$ tiene inradio $2,$ mientras que la trayectoria del centro tiene inradio $1$

The original $6$ - $8$ - $10$ triangle has inradius $2,$ while the center’s path has inradius $1$

Solución:

El centro $P$ permanece a una unidad del lado que toca, así que su trayectoria es el triángulo formado por las tres rectas paralelas desplazadas $1$ unidad hacia el interior. Este triángulo es semejante a $\triangle ABC.$ El triángulo rectángulo original tiene área $24$ y semiperímetro $12,$ por lo que su inradio es $\frac{24}{12}=2.$ El triángulo de la trayectoria tiene inradio $2-1=1,$ así que su escala lineal es $\frac{1}{2}.$ Su perímetro, y por lo tanto la distancia recorrida, es $\frac12(6+8+10)=12.$ La respuesta correcta es B.

The center $P$ remains one unit from the side it touches, so its path is the triangle formed by the three inward parallel lines at distance $1.$ This triangle is similar to $\triangle ABC.$ The original right triangle has area $24$ and semiperimeter $12,$ hence inradius $\frac{24}{12}=2.$ The path triangle has inradius $2-1=1,$ so its linear scale is $\frac{1}{2}.$ Its perimeter, and therefore the distance traveled, is $\frac12(6+8+10)=12.$ Thus the correct answer is B.

28.

¿Cuántos triángulos de área positiva tienen como vértices puntos del plano $xy$ con coordenadas enteras $(x,y)$ que satisfacen $1\le x\le4$ y $1\le y\le4$ ?

How many triangles with positive area are there whose vertices are points in the $xy$ -plane whose coordinates are integers $(x,y)$ satisfying $1\le x\le4$ and $1\le y\le4?$

$496$

$500$

$512$

$516$

$560$

Conceptos:lattice points combinaciones collinear triples

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Comienza con las $\binom{16}{3}$ ternas y resta las que son colineales

Start with all $\binom{16}{3}$ triples and subtract collinear ones

Pista grande:

Tres puntos de la cuadrícula pueden ser colineales solo horizontalmente, verticalmente o en una diagonal de pendiente $\pm1$

Three collinear grid points can occur only horizontally, vertically, or on a slope- $\pm1$ diagonal

Solución:

Hay $\binom{16}{3}=560$ ternas de puntos de la cuadrícula. Las cuatro filas y las cuatro columnas aportan $8\binom43=32$ ternas colineales. Para pendiente $1,$ las longitudes de diagonales capaces de contener tres puntos son $3,$ $4,$ $3,$ que aportan $\binom33+\binom43+\binom33=6;$ la pendiente $-1$ aporta otras $6.$ Ninguna otra pendiente permite tres puntos de la red dentro de un arreglo de puntos de $4$ por $4.$ Así, el número de triángulos de área positiva es $560-32-6-6=516.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $\binom{16}{3}=560$ triples of grid points. The four rows and four columns contribute $8\binom43=32$ collinear triples. For slope $1,$ the diagonal lengths capable of containing three points are $3,$ $4,$ $3,$ contributing $\binom33+\binom43+\binom33=6;$ slope $-1$ contributes another $6.$ No other slope fits three lattice points inside a $4$ -by- $4$ point array. Thus the number of positive-area triangles is $560-32-6-6=516.$ Thus the correct answer is D.

29.

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO podría contener las longitudes de las diagonales exteriores de un prisma rectangular recto, es decir, una “caja”? (Una diagonal exterior es una diagonal de una de las caras rectangulares de la caja.)

Which of the following sets could NOT be the lengths of the external diagonals of a right rectangular prism [a “box”]? (An external diagonal is a diagonal of one of the rectangular faces of the box.)

$\{4,5,6\}$

$\{4,5,7\}$

$\{4,6,7\}$

$\{5,6,7\}$

$\{5,7,8\}$

Conceptos:prisma rectangular face diagonals Pythagorean inequalities

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Si $p\le q\le r$ son las diagonales de las caras, expresa los cuadrados de las aristas en términos de $p^2,q^2,r^2$

If $p\le q\le r$ are the face diagonals, express the edge squares in terms of $p^2,q^2,r^2$

Pista grande:

Una condición necesaria y suficiente de positividad es $r^2\lt p^2+q^2$

A necessary and sufficient positivity condition is $r^2\lt p^2+q^2$

Solución:

Si las longitudes de las aristas son $a,$ $b,$ $c,$ entonces los cuadrados de las tres diagonales de las caras son $a^2+b^2,$ $a^2+c^2,$ $b^2+c^2.$ Para diagonales ordenadas $p\le q\le r,$ $a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},$ por lo que necesariamente $r^2\lt p^2+q^2;$ las fórmulas análogas muestran que esto también es suficiente. Solo falla $\{4,5,7\}$ , pues $7^2=49\gt16+25=41.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the edge lengths are $a,$ $b,$ $c,$ then the three face-diagonal squares are $a^2+b^2,$ $a^2+c^2,$ $b^2+c^2.$ For sorted diagonals $p\le q\le r,$ $a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},$ so necessarily $r^2\lt p^2+q^2;$ the analogous formulas show this is also sufficient. Only $\{4,5,7\}$ fails, since $7^2=49\gt16+25=41.$ Thus the correct answer is B.

30.

Dado $0\le x_0\lt1,$ define $x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{si }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{si }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}$ para todo entero $n\gt0.$ ¿Para cuántos valores de $x_0$ se cumple $x_0=x_5$ ?

Given $0\le x_0\lt1,$ let $x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{if }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{if }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}$ for all integers $n\gt0.$ For how many $x_0$ is it true that $x_0=x_5?$

$0$

$1$

$5$

$31$

infinitos

infinitely many

Conceptos:iteration fractional part modular equation

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Cada paso toma la parte fraccionaria del doble del valor anterior

Each step takes the fractional part of twice the preceding value

Pista grande:

Por lo tanto, $x_5$ es la parte fraccionaria de $32x_0$

Thus $x_5$ is the fractional part of $32x_0$

Solución:

La recurrencia es $x_n=\{2x_{n-1}\},$ por lo que $x_5=\{32x_0\}.$ La igualdad $x_5=x_0$ exige $32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor,$ y, por tanto, $31x_0$ es un entero. Los valores $x_0=\frac{k}{31}$ para $k=0,$ $1,$ $\ldots,$ $30$ satisfacen la recurrencia y pertenecen a $[0,1).$ Hay $31$ valores. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The recurrence is $x_n=\{2x_{n-1}\},$ so $x_5=\{32x_0\}.$ The equality $x_5=x_0$ requires $32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor,$ hence $31x_0$ is an integer. The values $x_0=\frac{k}{31}$ for $k=0,$ $1,$ $\ldots,$ $30$ all satisfy the recurrence and lie in $[0,1).$ There are $31$ values. Thus the correct answer is D.