Question

¿Cuántos enteros $x$ satisfacen la ecuación $(x^2-x-1)^{x+2}=1?$

How many integers $x$ satisfy the equation $(x^2-x-1)^{x+2}=1?$

$2$

$3$

$4$

$5$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:análisis por casos exponente cuadrática

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Una potencia entera puede ser $1$ si la base es $1,$ si la base es $-1$ y el exponente es par, o si una base no nula tiene exponente $0$

An integer power can equal $1$ when the base is $1,$ when the base is $-1$ with even exponent, or when a nonzero base has exponent $0$

Pista grande:

Resuelve los tres casos por separado y comprueba cada candidato

Solve those three cases separately and check every candidate

Solución:

Si la base es $1,$ entonces $x^2-x-1=1,$ lo que da $x=-1$ y $x=2.$ Si la base es $-1,$ entonces $x(x-1)=0;$ solo $x=0$ hace que el exponente $x+2$ sea par. Si el exponente es $0,$ entonces $x=-2,$ y su base es $5,$ así que también funciona. Las cuatro soluciones son $-2,$ $-1,$ $0,$ y $2.$

La respuesta correcta es C.

If the base is $1,$ then $x^2-x-1=1,$ giving $x=-1$ and $x=2.$ If the base is $-1,$ then $x(x-1)=0;$ only $x=0$ makes the exponent $x+2$ even. If the exponent is $0,$ then $x=-2,$ and its base is $5,$ so it also works. Thus the four solutions are $-2,$ $-1,$ $0,$ and $2.$

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años