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1985 AMC 12 Problema 22

Intenta el Problema 22 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

En un círculo con centro O,O, ADAD es un diámetro, ABCABC es una cuerda, BO=5BO=5 y ∠ABO=CD⌢=60∘.\angle ABO=\overset{\frown}{CD}=60^\circ. Entonces la longitud de BCBC es

In a circle with center O,O, ADAD is a diameter, ABCABC is a chord, BO=5BO=5 and ∠ABO=CD⌢=60∘.\angle ABO=\overset{\frown}{CD}=60^\circ. Then the length of BCBC is

33

3+33+\sqrt3

5−325-\frac{\sqrt3}{2}

55

ninguna de las anteriores

none of the above

Respuesta: D
Conceptos:círculoángulo inscritotriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 2130
Pista pequeña:

El arco de 60∘60^\circ CDCD hace que ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ

The 60∘60^\circ arc CDCD makes ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ

Pista grande:

Usa los triángulos 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ resultantes para comparar ABAB y ACAC

Use the resulting 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangles to compare ABAB and ACAC

Solución:

El arco CDCD da ∠CAD=30∘.\angle CAD=30^\circ. Como A,B,CA,B,C son colineales y A,O,DA,O,D son colineales, ∠BAO=30∘.\angle BAO=30^\circ. Junto con ∠ABO=60∘,\angle ABO=60^\circ, el triángulo ABOABO es un triángulo 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘.90^\circ. Como BO=5,BO=5, obtenemos AB=10AB=10 y AO=53.AO=5\sqrt3.

Además, ∠ACD=90∘\angle ACD=90^\circ porque ADAD es un diámetro. En el triángulo ACDACD de 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘,90^\circ, la hipotenusa es AD=103,AD=10\sqrt3, así que AC=15.AC=15. Por tanto, BC=AC−AB=5.BC=AC-AB=5.

Así, la respuesta correcta es D.

Arc CDCD gives ∠CAD=30∘.\angle CAD=30^\circ. Since A,B,CA,B,C are collinear and A,O,DA,O,D are collinear, ∠BAO=30∘.\angle BAO=30^\circ. With ∠ABO=60∘,\angle ABO=60^\circ, triangle ABOABO is a 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle. Because BO=5,BO=5, we get AB=10AB=10 and AO=53.AO=5\sqrt3.

Also ∠ACD=90∘\angle ACD=90^\circ because ADAD is a diameter. In the 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle ACD,ACD, the hypotenuse is AD=103,AD=10\sqrt3, so AC=15.AC=15. Therefore BC=AC−AB=5.BC=AC-AB=5.

Thus the correct answer is D.

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