Question

Considera las dos funciones $\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b), \end{aligned}$ donde la variable $x$ y las constantes $a$ y $b$ son números reales. Cada par de constantes $a$ y $b$ puede considerarse como un punto $(a,b)$ en un plano $ab$ . Sea $S$ el conjunto de esos puntos $(a,b)$ para los cuales las gráficas de $y=f(x)$ y $y=g(x)$ no se cortan (en el plano $xy$ ). El área de $S$ es

Consider the two functions $\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b), \end{aligned}$ where the variable $x$ and the constants $a$ and $b$ are real numbers. Each such pair of constants $a$ and $b$ may be considered as a point $(a,b)$ in an $ab$ -plane. Let $S$ be the set of such points $(a,b)$ for which the graphs of $y=f(x)$ and $y=g(x)$ do not intersect (in the $xy$ -plane). The area of $S$ is

$1$

$\pi$

$4$

$4\pi$

infinita

infinite

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática área del círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Iguala $f(x)=g(x)$ y exige que la cuadrática resultante no tenga raíces reales

Set $f(x)=g(x)$ and require the resulting quadratic to have no real roots

Pista grande:

Simplifica la condición de discriminante negativo en función de $a$ y $b$

Simplify the negative-discriminant condition in terms of $a$ and $b$

Solución:

Las intersecciones corresponden a las raíces de $x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0.$ No hay raíces reales exactamente cuando su discriminante es negativo: $\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0. \end{aligned}$ Así, $S$ es el interior del círculo unitario en el plano $ab$ , con área $\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Intersections correspond to roots of $x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0.$ There are no real roots exactly when its discriminant is negative: $\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0. \end{aligned}$ Thus $S$ is the interior of the unit circle in the $ab$ -plane, with area $\pi.$

Therefore, the correct answer is B.

1983 AMC 12 Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años