Question

En un callejón estrecho de ancho $w,$ se coloca una escalera de longitud $a$ con el pie en un punto $P$ entre las paredes. Al apoyarla contra una pared en $Q,$ a una altura $k$ sobre el suelo, la escalera forma un ángulo de $45^\circ$ con el suelo. Al apoyarla contra la otra pared en $R,$ a una altura $h$ sobre el suelo, forma un ángulo de $75^\circ$ con el suelo. El ancho $w$ es igual a

In a narrow alley of width $w$ a ladder of length $a$ is placed with its foot at a point $P$ between the walls. Resting against one wall at $Q,$ a distance $k$ above the ground, the ladder makes a $45^\circ$ angle with the ground. Resting against the other wall at $R,$ a distance $h$ above the ground, the ladder makes a $75^\circ$ angle with the ground. The width $w$ is equal to

$a$

$RQ$

$k$

$\frac{h+k}{2}$

$h$

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Expresa mediante cosenos los dos tramos horizontales del callejón

Express the two horizontal portions of the alley using cosines

Pista grande:

Compara $\cos75^\circ+\cos45^\circ$ con $\sin75^\circ$

Compare $\cos75^\circ+\cos45^\circ$ with $\sin75^\circ$

Solución:

Las distancias horizontales de $P$ a las paredes son $a\cos75^\circ$ y $a\cos45^\circ,$ así que $w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).$ La identidad de suma a producto da $\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.$ Como $h=a\sin75^\circ,$ se tiene $w=h.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The horizontal distances from $P$ to the walls are $a\cos75^\circ$ and $a\cos45^\circ,$ so $w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).$ The sum-to-product identity gives $\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.$ Since $h=a\sin75^\circ,$ $w=h.$

Therefore, the correct answer is E.

1982 AMC 12 Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años