Question

El valor mínimo de $\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2$ se alcanza cuando $A$ es

The minimum value of $\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2$ is attained when $A$ is

$-180^\circ$

$60^\circ$

$120^\circ$

$0^\circ$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Combina el seno y el coseno en un solo seno desplazado de amplitud $2$

Combine the sine and cosine into one shifted sine with amplitude $2$

Pista grande:

Usa $\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)$

Use $\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)$

Solución:

Sea $u=\frac{A}{2}.$ Entonces $\sin u-\sqrt3\cos u$ es igual a $2\sin(u-60^\circ).$ Su mínimo ocurre cuando $u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,$ así que $A=660^\circ+720^\circ n$ para algún entero $n.$ Ninguna de las primeras cuatro opciones tiene esta forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $u=\frac{A}{2}.$ Then $\sin u-\sqrt3\cos u$ equals $2\sin(u-60^\circ).$ Its minimum occurs when $u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,$ so $A=660^\circ+720^\circ n$ for an integer $n.$ None of the first four choices has this form.

Therefore, the correct answer is E.

1974 AMC 12 Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años