Question

En el plano complejo se considera el triángulo con vértices $2z$ , $(1+i)z$ , $(1-i)z$ , donde el número complejo $z$ satisface $|4z - 2| = 1$ . ¿Cuál es la mayor área posible de este triángulo?

What is the greatest possible area of the triangle in the complex plane with vertices $2z,$ $(1+i)z,$ and $(1-i)z,$ where $z$ is a complex number satisfying $|4z - 2| = 1?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

Solución:

Los vértices son $z \cdot 2$ , $z(1+i)$ , $z(1-i)$ , así que el triángulo es el triángulo fijo de vértices $2, 1+i, 1-i$ , cuya área es $1$ , escalado por el factor $|z|$ , de modo que su área es $|z|^2$ . La condición $|4z - 2| = 1$ equivale a $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4}$ , así que $|z|$ es como máximo $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$ . La mayor área es $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertices are $z \cdot 2,$ $z(1+i),$ and $z(1-i),$ so the triangle is the fixed triangle with vertices $2, 1+i, 1-i$ — which has area $1$ — scaled by $|z|,$ giving area $|z|^2.$ The condition $|4z - 2| = 1$ is the circle $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},$ on which $|z|$ is at most $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.$ So the greatest area is $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años