Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $S(n)$ la suma de las cifras de $n.$ ¿Para cuántos valores de $n$ se cumple $n+S(n)+S(S(n))=2007$ ?

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ For how many values of $n$ is $n+S(n)+S(S(n))=2007?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Para $n\le 2007,$ $S(n)\le S(1999)=28,$ y luego $S(S(n))\le S(28)=10.$ Así que cualquier solución cumple $n\ge 2007-28-10=1969.$

Además $n,$ $S(n),$ y $S(S(n))$ son congruentes módulo $9,$ y $2007$ es múltiplo de $9,$ así que los tres deben ser múltiplos de $3.$

Revisando los múltiplos de $3$ entre $1969$ y $2007$ (muchos se eliminan porque $n+S(n)$ ya supera $2007$ ) quedan $1977,1980,1983,$ y $2001.$ Eso da $4$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $n\le 2007,$ $S(n)\le S(1999)=28,$ and then $S(S(n))\le S(28)=10.$ So any solution has $n\ge 2007-28-10=1969.$

Also $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ are congruent modulo $9,$ and $2007$ is a multiple of $9,$ so all three must be multiples of $3.$

Checking the multiples of $3$ between $1969$ and $2007$ (many are eliminated because $n+S(n)$ already exceeds $2007$ ) leaves $1977,1980,1983,$ and $2001.$ That is $4$ values.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años