Question

Una función de valores reales $f$ tiene la propiedad de que para todos los números reales $a$ y $b,$

$\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}$

¿Cuál de los siguientes no puede ser el valor de $f(1)$ ?

A real-valued function $f$ has the property that for all real numbers $a$ and $b,$

$\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}$

Which one of the following cannot be the value of $f(1)?$

$0$

$1$

$-1$

$2$

$-2$

Solución:

Haciendo $a=b=0$ se obtiene $2f(0)=2f(0)^2,$ así que $f(0)=0$ o $f(0)=1.$ Si $f(0)=0,$ entonces haciendo $b=0$ se obliga a $f\equiv 0,$ lo que da $f(1)=0.$ En caso contrario $f(0)=1,$ y haciendo $a=b$ se obtiene $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ para todo $a.$ En particular, con $a=\tfrac12,$ $f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.$ Así que $f(1)\ge -1,$ y de hecho todo valor en $[-1,\infty)$ es alcanzable (por ejemplo $f(x)=\cos(kx)$ o $\cosh(kx)$ ). Por lo tanto $-2$ es imposible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Setting $a=b=0$ gives $2f(0)=2f(0)^2,$ so $f(0)=0$ or $f(0)=1.$ If $f(0)=0,$ then setting $b=0$ forces $f\equiv 0,$ giving $f(1)=0.$ Otherwise $f(0)=1,$ and setting $a=b$ gives $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ for every $a.$ In particular, with $a=\tfrac12,$ $f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.$ So $f(1)\ge -1,$ and indeed every value in $[-1,\infty)$ is attainable (e.g. $f(x)=\cos(kx)$ or $\cosh(kx)$ ). Hence $-2$ is impossible.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años