Question

Una sucesión de números complejos $z_0,$ $z_1,$ $z_2,$ $\ldots$ se define por la regla $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},$ donde $\overline{z_n}$ es el conjugado complejo de $z_n$ e $i^2 = -1.$ Supongamos que $|z_0| = 1$ y $z_{2005} = 1.$ ¿Cuántos valores posibles hay para $z_0$ ?

A sequence of complex numbers $z_0,$ $z_1,$ $z_2,$ $\ldots$ is defined by the rule $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},$ where $\overline{z_n}$ is the complex conjugate of $z_n$ and $i^2 = -1.$ Suppose that $|z_0| = 1$ and $z_{2005} = 1.$ How many possible values are there for $z_0?$

$1$

$2$

$4$

$2005$

$2^{2005}$

Respuesta: E

Conceptos:número complejo raíces de la unidad recursión

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Como $|z_n| = 1,$ $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n},$ así que $z_{n+1} = i z_n^2$ .

Since $|z_n| = 1,$ $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n},$ so $z_{n+1} = i z_n^2$

Pista grande:

Al iterar se obtiene $z_n$ como una constante fija por $z_0^{2^n}$ ; cuenta las raíces de la ecuación resultante.

Iterating gives $z_n$ as a fixed constant times $z_0^{2^n}$ ; count roots of the resulting equation

Solución:

Como $|z_0| = 1,$ todo $|z_n| = 1,$ así que $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}$ y $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.$

Al iterar, $z_1 = i z_0^2$ y $z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4.$ Además, si $z_n=-i z_0^{2^n},$ entonces $z_{n+1}=i(-i)^2z_0^{2^{n+1}}=-i z_0^{2^{n+1}}.$ Por tanto, $z_n=-i z_0^{2^n}$ para todo $n\ge2.$

La condición $z_{2005} = 1$ equivale entonces a $z_0^{2^{2005}} = i.$ Toda ecuación compleja no nula $z_0^{N} = i$ tiene exactamente $N$ soluciones distintas, todas sobre la circunferencia unitaria.

Aquí $N = 2^{2005},$ así que hay $2^{2005}$ valores posibles de $z_0.$

Así, la respuesta correcta es E.

Because $|z_0| = 1,$ every $|z_n| = 1,$ so $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}$ and $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.$

Iterating, $z_1 = i z_0^2$ and $z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4.$ Moreover, if $z_n=-i z_0^{2^n},$ then $z_{n+1}=i(-i)^2z_0^{2^{n+1}}=-i z_0^{2^{n+1}}.$ Thus $z_n=-i z_0^{2^n}$ for every $n\ge2.$

The condition $z_{2005} = 1$ is therefore $z_0^{2^{2005}} = i.$ Every nonzero complex equation $z_0^{N} = i$ has exactly $N$ distinct solutions, all on the unit circle.

Here $N = 2^{2005},$ so there are $2^{2005}$ possible values for $z_0.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años