Question

Una sucesión de números complejos $z_0, z_1, z_2, \ldots$ se define por la regla $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},$ donde $\overline{z_n}$ es el conjugado complejo de $z_n$ e $i^2 = -1.$ Supongamos que $|z_0| = 1$ y $z_{2005} = 1.$ ¿Cuántos valores posibles hay para $z_0$ ?

A sequence of complex numbers $z_0, z_1, z_2, \ldots$ is defined by the rule $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},$ where $\overline{z_n}$ is the complex conjugate of $z_n$ and $i^2 = -1.$ Suppose that $|z_0| = 1$ and $z_{2005} = 1.$ How many possible values are there for $z_0?$

$1$

$2$

$4$

$2005$

$2^{2005}$

Solución:

Como $|z_0| = 1,$ todo $|z_n| = 1,$ así que $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}$ y $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.$

Al iterar, $z_1 = i z_0^2,$ $z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4,$ y en general para $n \ge 2,$ $z_n = c_n z_0^{2^n}$ , donde $c_n$ satisface $|c_n| = 1$ .

La condición $z_{2005} = 1$ se convierte en una ecuación de la forma $z_0^{2^{2005}} = c$ para una constante fija $c$ con $|c| = 1.$ Toda ecuación compleja no nula $z_0^{N} = c$ tiene exactamente $N$ soluciones distintas, todas sobre la circunferencia unitaria.

Aquí $N = 2^{2005},$ así que hay $2^{2005}$ valores posibles para $z_0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $|z_0| = 1,$ every $|z_n| = 1,$ so $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}$ and $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.$

Iterating, $z_1 = i z_0^2,$ $z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4,$ and in general for $n \ge 2,$ $z_n = c_n z_0^{2^n}$ , where $c_n$ satisfies $|c_n| = 1$ .

The condition $z_{2005} = 1$ becomes an equation of the form $z_0^{2^{2005}} = c$ for a fixed constant $c$ with $|c| = 1.$ Every nonzero complex equation $z_0^{N} = c$ has exactly $N$ distinct solutions, all on the unit circle.

Here $N = 2^{2005},$ so there are $2^{2005}$ possible values for $z_0.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años