Soluciones del 2005 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Una tropa de scouts compra $1000$ barras de dulce a un precio de cinco por $\$2.$ Venden todas las barras a un precio de dos por $\$1.$ ¿Cuál fue su ganancia, en dólares?

A scout troop buys $1000$ candy bars at a price of five for $\$2.$ They sell all the candy bars at a price of two for $\$1.$ What was their profit, in dollars?

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Conceptos:razón y proporción dinero

Nivel de dificultad: 890

Solución:

La tropa compra $1000 \div 5 = 200$ grupos de cinco barras, con un costo de $200 \cdot 2 = 400$ dólares.

Venden $1000 \div 2 = 500$ pares de barras, obteniendo $500 \cdot 1 = 500$ dólares.

La ganancia es $500 - 400 = 100$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The troop buys $1000 \div 5 = 200$ groups of five bars, costing $200 \cdot 2 = 400$ dollars.

They sell $1000 \div 2 = 500$ pairs of bars, earning $500 \cdot 1 = 500$ dollars.

The profit is $500 - 400 = 100$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2.

Un número positivo $x$ tiene la propiedad de que el $x\%$ de $x$ es $4.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

A positive number $x$ has the property that $x\%$ of $x$ is $4.$ What is $x?$

$2$

$4$

$10$

$20$

$40$

Conceptos:porcentaje cuadrática

Nivel de dificultad: 980

Solución:

El enunciado se traduce en $\dfrac{x}{100}\cdot x = 4,$ así que $x^2 = 400.$

Como $x$ es positivo, $x = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The statement translates to $\dfrac{x}{100}\cdot x = 4,$ so $x^2 = 400.$

Since $x$ is positive, $x = 20.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Brianna usa parte del dinero que ganó en su trabajo de fin de semana para comprar varios CD del mismo precio. Usó una quinta parte de su dinero para comprar un tercio de los CD. ¿Qué fracción de su dinero le quedará después de comprar todos los CD?

Brianna is using part of the money she earned on her weekend job to buy several equally-priced CDs. She used one fifth of her money to buy one third of the CDs. What fraction of her money will she have left after she buys all the CDs?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{4}{5}$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Comprar todos los CD cuesta tres veces lo que cuesta un tercio de ellos, es decir $3\cdot\dfrac15 = \dfrac35$ de su dinero.

Le queda $1 - \dfrac35 = \dfrac25$ de su dinero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Buying all the CDs costs three times what one third of them cost, namely $3\cdot\dfrac15 = \dfrac35$ of her money.

She has $1 - \dfrac35 = \dfrac25$ of her money left.

Thus, the correct answer is C.

4.

Al comienzo del año escolar, la meta de Lisa era obtener una A en al menos el $80\%$ de sus $50$ exámenes cortos del año. Obtuvo una A en $22$ de los primeros $30$ exámenes cortos. Si quiere alcanzar su meta, ¿en cuántos de los exámenes cortos restantes puede, como máximo, obtener una calificación menor que A?

At the beginning of the school year, Lisa's goal was to earn an A on at least $80\%$ of her $50$ quizzes for the year. She earned an A on $22$ of the first $30$ quizzes. If she is to achieve her goal, on at most how many of the remaining quizzes can she earn a grade lower than an A?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Lisa necesita una A en al menos $0.8 \cdot 50 = 40$ exámenes cortos.

Ya tiene $22$ , así que necesita $40 - 22 = 18$ más de los $20$ exámenes cortos restantes.

Puede obtener una calificación menor en a lo sumo $20 - 18 = 2$ de ellos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Lisa needs an A on at least $0.8 \cdot 50 = 40$ quizzes.

She has $22$ already, so she needs $40 - 22 = 18$ more of the remaining $20$ quizzes.

She can earn a lower grade on at most $20 - 18 = 2$ of them.

Thus, the correct answer is B.

5.

Un piso de $8$ pies por $10$ pies se recubre con baldosas cuadradas de $1$ pie por $1$ pie. Cada baldosa tiene un patrón formado por cuatro cuartos de círculo blancos de radio $\dfrac12$ pie centrados en cada esquina de la baldosa. La parte restante de la baldosa está sombreada. ¿Cuántos pies cuadrados del piso están sombreados?

An $8$ -foot by $10$ -foot floor is tiled with square tiles of size $1$ foot by $1$ foot. Each tile has a pattern consisting of four white quarter circles of radius $\dfrac12$ foot centered at each corner of the tile. The remaining portion of the tile is shaded. How many square feet of the floor are shaded?

$80 - 20\pi$

$60 - 10\pi$

$80 - 10\pi$

$60 + 10\pi$

$80 + 10\pi$

Conceptos:área del círculo área

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Los cuatro cuartos de círculo de una baldosa forman juntos un círculo completo de radio $\dfrac12,$ con área $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}.$

Así que cada baldosa tiene un área sombreada de $1 - \dfrac{\pi}{4}$ pies cuadrados.

Hay $8 \cdot 10 = 80$ baldosas, así que el área sombreada total es $80\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 80 - 20\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The four quarter circles in a tile together form one full circle of radius $\dfrac12,$ with area $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}.$

So each tile has shaded area $1 - \dfrac{\pi}{4}$ square feet.

There are $8 \cdot 10 = 80$ tiles, so the total shaded area is $80\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 80 - 20\pi.$

Thus, the correct answer is A.

6.

En $\triangle ABC,$ tenemos $AC = BC = 7$ y $AB = 2.$ Supongamos que $D$ es un punto sobre la recta $AB$ tal que $B$ está entre $A$ y $D$ y $CD = 8.$ ¿Cuánto vale $BD$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $AC = BC = 7$ and $AB = 2.$ Suppose that $D$ is a point on line $AB$ such that $B$ lies between $A$ and $D$ and $CD = 8.$ What is $BD?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

Conceptos:triángulo isósceles altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Sea $H$ el pie de la altura desde $C$ a la recta $AB.$ Como $\triangle ABC$ es isósceles con $AC = BC,$ $H$ es el punto medio de $AB,$ así que $AH = HB = 1.$

Entonces $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$ Aplicando el Teorema de Pitágoras a $\triangle CHD$ con $HD = HB + BD = 1 + BD$ se obtiene $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ así que $(1 + BD)^2 = 16.$

En consecuencia $1 + BD = 4,$ lo que significa que $BD = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to line $AB.$ Since $\triangle ABC$ is isosceles with $AC = BC,$ $H$ is the midpoint of $AB,$ so $AH = HB = 1.$

Then $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$ Applying the Pythagorean Theorem to $\triangle CHD$ with $HD = HB + BD = 1 + BD$ gives $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ so $(1 + BD)^2 = 16.$

Therefore $1 + BD = 4,$ which means $BD = 3.$

Thus, the correct answer is A.

7.

¿Cuál es el área encerrada por la gráfica de $|3x| + |4y| = 12$ ?

What is the area enclosed by the graph of $|3x| + |4y| = 12?$

$6$

$12$

$16$

$24$

$25$

Conceptos:valor absoluto rombo

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Al hacer $y = 0$ se obtiene $|3x| = 12,$ así que $x = \pm 4.$ Al hacer $x = 0$ se obtiene $|4y| = 12,$ así que $y = \pm 3.$

La gráfica es un rombo con vértices $(\pm 4, 0)$ y $(0, \pm 3),$ así que sus diagonales tienen longitudes $8$ y $6.$

Su área es $\dfrac12 \cdot 8 \cdot 6 = 24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting $y = 0$ gives $|3x| = 12,$ so $x = \pm 4.$ Setting $x = 0$ gives $|4y| = 12,$ so $y = \pm 3.$

The graph is a rhombus with vertices $(\pm 4, 0)$ and $(0, \pm 3),$ so its diagonals have lengths $8$ and $6.$

Its area is $\dfrac12 \cdot 8 \cdot 6 = 24.$

Thus, the correct answer is D.

8.

¿Para cuántos valores de $a$ es cierto que la recta $y = x + a$ pasa por el vértice de la parábola $y = x^2 + a^2$ ?

For how many values of $a$ is it true that the line $y = x + a$ passes through the vertex of the parabola $y = x^2 + a^2?$

$0$

$1$

$2$

$10$

infinitos

infinitely many

Conceptos:parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

El vértice de la parábola $y = x^2 + a^2$ es $(0, a^2).$

La recta $y = x + a$ pasa por él exactamente cuando $a^2 = 0 + a,$ es decir $a^2 - a = 0.$

Esto da $a = 0$ o $a = 1,$ así que hay $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertex of the parabola $y = x^2 + a^2$ is $(0, a^2).$

The line $y = x + a$ passes through it exactly when $a^2 = 0 + a,$ that is $a^2 - a = 0.$

This gives $a = 0$ or $a = 1,$ so there are $2$ values.

Thus, the correct answer is C.

9.

En cierto examen de matemáticas, el $10\%$ de los estudiantes obtuvo $70$ puntos, el $25\%$ obtuvo $80$ puntos, el $20\%$ obtuvo $85$ puntos, el $15\%$ obtuvo $90$ puntos, y el resto obtuvo $95$ puntos. ¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana de las puntuaciones de este examen?

On a certain math exam, $10\%$ of the students got $70$ points, $25\%$ got $80$ points, $20\%$ got $85$ points, $15\%$ got $90$ points, and the rest got $95$ points. What is the difference between the mean and the median score on this exam?

$0$

$1$

$2$

$4$

$5$

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

El porcentaje que obtuvo $95$ es $100 - 10 - 25 - 20 - 15 = 30.$

La media es $\begin{aligned} &0.10(70) + 0.25(80) \\ &\quad {}+ 0.20(85) + 0.15(90) \\ &\quad {}+ 0.30(95) = 86. \end{aligned}$

Acumulando, el $10\%$ está por debajo de $80,$ el $35\%$ está en o por debajo de $80,$ y el $55\%$ está en o por debajo de $85.$ Las puntuaciones centrales caen en $85,$ así que la mediana es $85.$

La diferencia es $86 - 85 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The percentage scoring $95$ is $100 - 10 - 25 - 20 - 15 = 30.$

The mean is $\begin{aligned} &0.10(70) + 0.25(80) \\ &\quad {}+ 0.20(85) + 0.15(90) \\ &\quad {}+ 0.30(95) = 86. \end{aligned}$

Cumulatively, $10\%$ are below $80,$ $35\%$ are at or below $80,$ and $55\%$ are at or below $85.$ The middle scores fall at $85,$ so the median is $85.$

The difference is $86 - 85 = 1.$

Thus, the correct answer is B.

10.

El primer término de una sucesión es $2005.$ Cada término siguiente es la suma de los cubos de los dígitos del término anterior. ¿Cuál es el término $2005$ de la sucesión?

The first term of a sequence is $2005.$ Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the $2005$ th term of the sequence?

$29$

$55$

$85$

$133$

$250$

Conceptos:dígitos recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

La sucesión comienza $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots$ ya que $2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,$ $1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,$ $5^3 + 5^3 = 250,$ y $2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.$

Después del término inicial $2005,$ los términos recorren cíclicamente $133, 55, 250$ con periodo $3.$

El término $n$ para $n \ge 2$ es la entrada $((n-2)\bmod 3)$ de $133, 55, 250.$ Como $2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,$ el término $2005$ es $250.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sequence begins $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots$ since $2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,$ $1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,$ $5^3 + 5^3 = 250,$ and $2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.$

After the initial $2005,$ the terms cycle through $133, 55, 250$ with period $3.$

Term $n$ for $n \ge 2$ is the $((n-2)\bmod 3)$ th entry of $133, 55, 250.$ Since $2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,$ the $2005$ th term is $250.$

Thus, the correct answer is E.

11.

Un sobre contiene ocho billetes: $2$ de uno, $2$ de cinco, $2$ de diez y $2$ de veinte. Se extraen dos billetes al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea $\$20$ o más?

An envelope contains eight bills: $2$ ones, $2$ fives, $2$ tens, and $2$ twenties. Two bills are drawn at random without replacement. What is the probability that their sum is $\$20$ or more?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Hay $\binom{8}{2} = 28$ pares de billetes igualmente probables.

La suma es $\$20$ o más en estos casos: los dos de veinte ( $1$ forma), uno de veinte con uno de los seis billetes más pequeños ( $2 \cdot 6 = 12$ formas), o los dos de diez ( $1$ forma).

Es decir $1 + 12 + 1 = 14$ pares favorables, así que la probabilidad es $\dfrac{14}{28} = \dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $\binom{8}{2} = 28$ equally likely pairs of bills.

The sum is $\$20$ or more in these cases: both twenties ( $1$ way), one twenty with one of the six smaller bills ( $2 \cdot 6 = 12$ ways), or both tens ( $1$ way).

That is $1 + 12 + 1 = 14$ favorable pairs, so the probability is $\dfrac{14}{28} = \dfrac12.$

Thus, the correct answer is D.

12.

La ecuación cuadrática $x^2 + mx + n = 0$ tiene raíces que son el doble de las de $x^2 + px + m = 0,$ y ninguno de $m,$ $n,$ y $p$ es cero. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{n}{p}$ ?

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0,$ and none of $m,$ $n,$ and $p$ is zero. What is the value of $\dfrac{n}{p}?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

Sean $r_1$ y $r_2$ las raíces de $x^2 + px + m = 0,$ así que $m = r_1 r_2$ y $p = -(r_1 + r_2).$

Las raíces de $x^2 + mx + n = 0$ son $2r_1$ y $2r_2,$ así que $n = 4r_1 r_2$ y $m = -2(r_1 + r_2).$

Entonces $n = 4m$ y $m = 2p,$ lo que da $p = \dfrac{m}{2},$ así que $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0,$ so $m = r_1 r_2$ and $p = -(r_1 + r_2).$

The roots of $x^2 + mx + n = 0$ are $2r_1$ and $2r_2,$ so $n = 4r_1 r_2$ and $m = -2(r_1 + r_2).$

Then $n = 4m$ and $m = 2p,$ which gives $p = \dfrac{m}{2},$ so $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.$

Thus, the correct answer is D.

13.

Supongamos que $4^{x_1} = 5,$ $5^{x_2} = 6,$ $6^{x_3} = 7, \ldots, 127^{x_{124}} = 128.$ ¿Cuánto vale $x_1 x_2 \cdots x_{124}$ ?

Suppose that $4^{x_1} = 5,$ $5^{x_2} = 6,$ $6^{x_3} = 7, \ldots, 127^{x_{124}} = 128.$ What is $x_1 x_2 \cdots x_{124}?$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

Conceptos:logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

De $4^{x_1} = 5$ obtenemos $x_1 = \log_4 5,$ y en general $x_k = \log_{k+3}(k+4).$

El producto se reduce telescópicamente: $\begin{aligned} &x_1 x_2 \cdots x_{124} \\ &= \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{127} 128 \\ &= \log_4 128. \end{aligned}$

Como $128 = 2^7$ y $4 = 2^2,$ esto es igual a $\dfrac{7\log 2}{2\log 2} = \dfrac72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $4^{x_1} = 5$ we get $x_1 = \log_4 5,$ and in general $x_k = \log_{k+3}(k+4).$

The product telescopes: $\begin{aligned} &x_1 x_2 \cdots x_{124} \\ &= \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{127} 128 \\ &= \log_4 128. \end{aligned}$

Since $128 = 2^7$ and $4 = 2^2,$ this equals $\dfrac{7\log 2}{2\log 2} = \dfrac72.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Un círculo con centro $(0, k),$ con $k \gt 6,$ es tangente a las rectas $y = x,$ $y = -x$ y $y = 6.$ ¿Cuál es el radio de este círculo?

A circle having center $(0, k),$ with $k \gt 6,$ is tangent to the lines $y = x,$ $y = -x$ and $y = 6.$ What is the radius of this circle?

$6\sqrt{2} - 6$

$6$

$6\sqrt{2}$

$12$

$6 + 6\sqrt{2}$

Conceptos:círculo recta tangente geometría analítica

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Como el círculo es tangente a $y = 6$ y su centro $(0, k)$ está por encima de esa recta, el radio es $r = k - 6.$

La distancia de $(0, k)$ a la recta $x - y = 0$ es $\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},$ y esto también debe ser igual a $r.$

Al igualar $\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6$ se obtiene $k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}$ $= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)$ $= 12 + 6\sqrt2.$

Entonces $r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the circle is tangent to $y = 6$ and its center $(0, k)$ is above that line, the radius is $r = k - 6.$

The distance from $(0, k)$ to the line $x - y = 0$ is $\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},$ and this must also equal $r.$

Setting $\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6$ gives $k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}$ $= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)$ $= 12 + 6\sqrt2.$

Then $r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2.$

Thus, the correct answer is E.

15.

La suma de cuatro números de dos dígitos es $221.$ Ninguno de los ocho dígitos es $0$ y no hay dos iguales. ¿Cuál de los siguientes no está incluido entre los ocho dígitos?

The sum of four two-digit numbers is $221.$ None of the eight digits is $0$ and no two of them are the same. Which of the following is not included among the eight digits?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:dígitos valor posicional análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Los ocho dígitos son distintos y se eligen entre $1$ y $9,$ cuya suma total es $45.$ Así que los ocho dígitos usados suman entre $45 - 9 = 36$ y $45 - 1 = 44.$

Sean $U$ la suma de los cuatro dígitos de las unidades y $T$ la suma de los cuatro dígitos de las decenas. Entonces $10T + U = 221,$ así que $U$ termina en $1.$ Como $1+2+3+4 = 10$ $\le U \le$ $6+7+8+9 = 30,$ tenemos $U = 11$ o $U = 21.$

Si $U = 11,$ entonces $10T = 210,$ así que $T = 21$ y los ocho dígitos suman $32,$ que está por debajo de $36.$ Por lo tanto $U = 21,$ lo que da $T = 20$ y un total de $41.$

El dígito que falta es $45 - 41 = 4.$ Por ejemplo, $13 + 25 + 86 + 97 = 221.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The eight digits are distinct and chosen from $1$ through $9,$ whose total is $45.$ So the eight used digits sum to between $45 - 9 = 36$ and $45 - 1 = 44.$

Let the four units digits sum to $U$ and the four tens digits sum to $T.$ Then $10T + U = 221,$ so $U$ ends in $1.$ Since $1+2+3+4 = 10$ $\le U \le$ $6+7+8+9 = 30,$ we have $U = 11$ or $U = 21.$

If $U = 11,$ then $10T = 210,$ so $T = 21$ and the eight digits sum to $32,$ which is below $36.$ So $U = 21,$ giving $T = 20$ and total $41.$

The missing digit is $45 - 41 = 4.$ For example, $13 + 25 + 86 + 97 = 221.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Ocho esferas de radio $1,$ una por octante, son cada una tangentes a los planos coordenados. ¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña, centrada en el origen, que contiene estas ocho esferas?

Eight spheres of radius $1,$ one per octant, are each tangent to the coordinate planes. What is the radius of the smallest sphere, centered at the origin, that contains these eight spheres?

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$1 + \sqrt{2}$

$1 + \sqrt{3}$

$3$

Conceptos:Geometría 3D esfera fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Una esfera de radio $1$ tangente a los tres planos coordenados en un octante tiene su centro en un punto como $(1, 1, 1),$ a distancia $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3$ del origen.

El punto de esa esfera más lejano del origen está a distancia $\sqrt3 + 1,$ así que la esfera que las contiene tiene radio $1 + \sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A sphere of radius $1$ tangent to the three coordinate planes in one octant has its center at a point like $(1, 1, 1),$ at distance $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3$ from the origin.

The farthest point of that sphere from the origin is at distance $\sqrt3 + 1,$ so the containing sphere has radius $1 + \sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

17.

¿Cuántas cuádruplas distintas $(a, b, c, d)$ de números racionales existen tales que $\begin{aligned} &a\log_{10} 2 + b\log_{10} 3 \\ &\quad {}+ c\log_{10} 5 + d\log_{10} 7 = 2005? \end{aligned}$

How many distinct four-tuples $(a, b, c, d)$ of rational numbers are there with $\begin{aligned} &a\log_{10} 2 + b\log_{10} 3 \\ &\quad {}+ c\log_{10} 5 + d\log_{10} 7 = 2005? \end{aligned}$

$0$

$1$

$17$

$2004$

infinitos

infinitely many

Conceptos:logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

La ecuación es equivalente a $\log_{10}\left(2^a 3^b 5^c 7^d\right) = 2005,$ así que $2^a 3^b 5^c 7^d = 10^{2005} = 2^{2005} \cdot 5^{2005}.$

Al eliminar los denominadores de $a, b, c, d$ con un multiplicador entero común y usando la unicidad de la factorización prima, los exponentes deben coincidir: $a = 2005,$ $b = 0,$ $c = 2005,$ y $d = 0.$

Así que existe exactamente $1$ cuádrupla de ese tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is equivalent to $\log_{10}\left(2^a 3^b 5^c 7^d\right) = 2005,$ so $2^a 3^b 5^c 7^d = 10^{2005} = 2^{2005} \cdot 5^{2005}.$

Clearing the denominators of $a, b, c, d$ with a common integer multiplier and using the uniqueness of prime factorization, the exponents must match: $a = 2005,$ $b = 0,$ $c = 2005,$ and $d = 0.$

So there is exactly $1$ such four-tuple.

Thus, the correct answer is B.

18.

Sean $A(2, 2)$ y $B(7, 7)$ puntos en el plano. Define $R$ como la región del primer cuadrante formada por aquellos puntos $C$ tales que $\triangle ABC$ es un triángulo acutángulo. ¿Cuál es el entero más cercano al área de la región $R$ ?

Let $A(2, 2)$ and $B(7, 7)$ be points in the plane. Define $R$ as the region in the first quadrant consisting of those points $C$ such that $\triangle ABC$ is an acute triangle. What is the closest integer to the area of the region $R?$

$25$

$39$

$51$

$60$

$80$

Conceptos:geometría analítica círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

La recta $AB$ tiene pendiente $1.$ Para que $\angle A$ sea agudo, $C$ debe estar más allá de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB;$ en el primer cuadrante esa recta va entre $P(4, 0)$ y $Q(0, 4).$ Para que $\angle B$ sea agudo, $C$ debe estar antes de la recta que pasa por $B$ perpendicular a $AB,$ entre $S(14, 0)$ y $T(0, 14).$

Para que $\angle C$ sea agudo, $C$ debe estar fuera del círculo $U$ de diámetro $AB,$ cuyo radio es $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.$

La región es el gran triángulo rectángulo $OST$ menos el pequeño triángulo rectángulo $OPQ$ menos el área equivalente al semicírculo de $U$ dentro de la franja: $\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Line $AB$ has slope $1.$ For $\angle A$ to be acute, $C$ must lie beyond the line through $A$ perpendicular to $AB;$ in the first quadrant that line runs between $P(4, 0)$ and $Q(0, 4).$ For $\angle B$ to be acute, $C$ must lie before the line through $B$ perpendicular to $AB,$ between $S(14, 0)$ and $T(0, 14).$

For $\angle C$ to be acute, $C$ must lie outside the circle $U$ with diameter $AB,$ whose radius is $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.$

The region is the large right triangle $OST$ minus the small right triangle $OPQ$ minus the semicircle-equivalent area of $U$ inside the strip: $\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

19.

Sean $x$ y $y$ enteros de dos dígitos tales que $y$ se obtiene invirtiendo los dígitos de $x.$ Los enteros $x$ y $y$ satisfacen $x^2 - y^2 = m^2$ para algún entero positivo $m.$ ¿Cuánto vale $x + y + m$ ?

Let $x$ and $y$ be two-digit integers such that $y$ is obtained by reversing the digits of $x.$ The integers $x$ and $y$ satisfy $x^2 - y^2 = m^2$ for some positive integer $m.$ What is $x + y + m?$

$88$

$112$

$116$

$144$

$154$

Conceptos:dígitos diferencia de cuadrados cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Sea $x = 10a + b$ y $y = 10b + a$ con $a \gt b.$ Entonces $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Como $99 = 9 \cdot 11,$ para que esto sea un cuadrado perfecto necesitamos $11 \mid (a+b)(a-b).$ Como $a + b \le 17$ y $a - b \le 8,$ el único múltiplo de $11$ disponible es $a + b = 11.$

Entonces $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ que es un cuadrado perfecto exactamente cuando $a - b$ es un cuadrado perfecto. Tomando $a - b = 1$ con $a + b = 11$ se obtiene $(a, b) = (6, 5).$

Así que $x = 65,$ $y = 56,$ y $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ En consecuencia $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ with $a \gt b.$ Then $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Since $99 = 9 \cdot 11,$ for this to be a perfect square we need $11 \mid (a+b)(a-b).$ As $a + b \le 17$ and $a - b \le 8,$ the only multiple of $11$ available is $a + b = 11.$

Then $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ which is a perfect square exactly when $a - b$ is a perfect square. Taking $a - b = 1$ with $a + b = 11$ gives $(a, b) = (6, 5).$

So $x = 65,$ $y = 56,$ and $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ Thus $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Sean $a, b, c, d, e, f, g$ y $h$ elementos distintos del conjunto $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}$

Let $a, b, c, d, e, f, g$ and $h$ be distinct elements in the set $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.$ What is the minimum possible value of $\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}$

$30$

$32$

$34$

$40$

$50$

Conceptos:optimización completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Los elementos suman $8.$ Si $a + b + c + d = x,$ entonces $e + f + g + h = 8 - x,$ así que $x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.$

Esto se minimiza cuando $x = 4,$ dando $32.$ Pero $13$ debe estar en un grupo, y ningún conjunto de tres de los elementos restantes se suma con $13$ para dar $4$ (eso requeriría tres de ellos que sumaran $-9,$ lo cual es imposible aquí). Así que $x = 4$ es inalcanzable y $(x - 4)^2 \ge 1.$

El mínimo es $2(1) + 32 = 34,$ que se alcanza por ejemplo con $\{-7, -5, 2, 13\}$ (suma $3$ ) y $\{-3, -2, 4, 6\}$ (suma $5$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The elements sum to $8.$ If $a + b + c + d = x,$ then $e + f + g + h = 8 - x,$ so $x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.$

This is minimized when $x = 4,$ giving $32.$ But $13$ must lie in one group, and no three of the remaining elements add with $13$ to make $4$ (that would need three of them summing to $-9,$ which is impossible here). So $x = 4$ is unattainable and $(x - 4)^2 \ge 1.$

The minimum is $2(1) + 32 = 34,$ achieved for instance by $\{-7, -5, 2, 13\}$ (sum $3$ ) and $\{-3, -2, 4, 6\}$ (sum $5$ ).

Thus, the correct answer is C.

21.

Un entero positivo $n$ tiene $60$ divisores y $7n$ tiene $80$ divisores. ¿Cuál es el mayor entero $k$ tal que $7^k$ divide a $n$ ?

A positive integer $n$ has $60$ divisors and $7n$ has $80$ divisors. What is the greatest integer $k$ such that $7^k$ divides $n?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Escribe $n = 7^k Q$ donde $7 \nmid Q,$ y sea $d$ el número de divisores de $Q.$ Entonces $n$ tiene $(k + 1)d = 60$ divisores y $7n = 7^{k+1}Q$ tiene $(k + 2)d = 80$ divisores.

Dividiendo, $\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,$ así que $3(k + 2) = 4(k + 1),$ lo que da $k = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write $n = 7^k Q$ where $7 \nmid Q,$ and let $d$ be the number of divisors of $Q.$ Then $n$ has $(k + 1)d = 60$ divisors and $7n = 7^{k+1}Q$ has $(k + 2)d = 80$ divisors.

Dividing, $\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,$ so $3(k + 2) = 4(k + 1),$ giving $k = 2.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Una sucesión de números complejos $z_0, z_1, z_2, \ldots$ se define por la regla $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},$ donde $\overline{z_n}$ es el conjugado complejo de $z_n$ e $i^2 = -1.$ Supongamos que $|z_0| = 1$ y $z_{2005} = 1.$ ¿Cuántos valores posibles hay para $z_0$ ?

A sequence of complex numbers $z_0, z_1, z_2, \ldots$ is defined by the rule $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},$ where $\overline{z_n}$ is the complex conjugate of $z_n$ and $i^2 = -1.$ Suppose that $|z_0| = 1$ and $z_{2005} = 1.$ How many possible values are there for $z_0?$

$1$

$2$

$4$

$2005$

$2^{2005}$

Conceptos:número complejo raíces de la unidad recursión

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Como $|z_0| = 1,$ todo $|z_n| = 1,$ así que $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}$ y $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.$

Al iterar, $z_1 = i z_0^2,$ $z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4,$ y en general para $n \ge 2,$ $z_n = c_n z_0^{2^n}$ , donde $c_n$ satisface $|c_n| = 1$ .

La condición $z_{2005} = 1$ se convierte en una ecuación de la forma $z_0^{2^{2005}} = c$ para una constante fija $c$ con $|c| = 1.$ Toda ecuación compleja no nula $z_0^{N} = c$ tiene exactamente $N$ soluciones distintas, todas sobre la circunferencia unitaria.

Aquí $N = 2^{2005},$ así que hay $2^{2005}$ valores posibles para $z_0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $|z_0| = 1,$ every $|z_n| = 1,$ so $\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}$ and $z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.$

Iterating, $z_1 = i z_0^2,$ $z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4,$ and in general for $n \ge 2,$ $z_n = c_n z_0^{2^n}$ , where $c_n$ satisfies $|c_n| = 1$ .

The condition $z_{2005} = 1$ becomes an equation of the form $z_0^{2^{2005}} = c$ for a fixed constant $c$ with $|c| = 1.$ Every nonzero complex equation $z_0^{N} = c$ has exactly $N$ distinct solutions, all on the unit circle.

Here $N = 2^{2005},$ so there are $2^{2005}$ possible values for $z_0.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Sea $S$ el conjunto de las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de números reales para las que $\log_{10}(x + y) = z$ y $\log_{10}(x^2 + y^2) = z + 1.$ Existen números reales $a$ y $b$ tales que para todas las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de $S$ se tiene $x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}.$ ¿Cuál es el valor de $a + b$ ?

Let $S$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of real numbers for which $\log_{10}(x + y) = z$ and $\log_{10}(x^2 + y^2) = z + 1.$ There are real numbers $a$ and $b$ such that for all ordered triples $(x, y, z)$ in $S$ we have $x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}.$ What is the value of $a + b?$

$\dfrac{15}{2}$

$\dfrac{29}{2}$

$15$

$\dfrac{39}{2}$

$24$

Conceptos:suma y diferencia de cubos logaritmo simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Las condiciones dan $x + y = 10^z$ y $x^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z.$ Entonces $\begin{aligned} &2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) \\ &= 10^{2z} - 10 \cdot 10^z, \end{aligned}$ así que $xy = \dfrac12\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right).$

Usando $x^3 + y^3$ $= (x+y)^3 - 3xy(x+y),$ $\begin{aligned} &x^3 + y^3 = 10^{3z} \\ &\quad {}- \dfrac32\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)10^z \\ &= -\dfrac12 \cdot 10^{3z} + 15 \cdot 10^{2z}. \end{aligned}$

Así que $a = -\dfrac12$ y $b = 15,$ lo que da $a + b = \dfrac{29}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The conditions give $x + y = 10^z$ and $x^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z.$ Then $\begin{aligned} &2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) \\ &= 10^{2z} - 10 \cdot 10^z, \end{aligned}$ so $xy = \dfrac12\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right).$

Using $x^3 + y^3$ $= (x+y)^3 - 3xy(x+y),$ $\begin{aligned} &x^3 + y^3 = 10^{3z} \\ &\quad {}- \dfrac32\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)10^z \\ &= -\dfrac12 \cdot 10^{3z} + 15 \cdot 10^{2z}. \end{aligned}$

So $a = -\dfrac12$ and $b = 15,$ giving $a + b = \dfrac{29}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Los tres vértices de un triángulo equilátero están sobre la parábola $y = x^2,$ y uno de sus lados tiene pendiente $2.$ Las coordenadas $x$ de los tres vértices tienen suma $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de $m + n$ ?

All three vertices of an equilateral triangle are on the parabola $y = x^2,$ and one of its sides has a slope of $2.$ The $x$ -coordinates of the three vertices have a sum of $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is the value of $m + n?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:parábola identidad trigonométrica triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Para los vértices $(a, a^2), (b, b^2), (c, c^2),$ la pendiente de un lado es $\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b.$ Sumando las pendientes de los tres lados, $\begin{aligned} &(a+b) + (b+c) + (c+a) \\ &= 2(a + b + c) \\ &= 2 \cdot \dfrac{m}{n}. \end{aligned}$

Un lado tiene pendiente $2 = \tan\theta.$ Como el triángulo es equilátero, sus lados forman ángulos $\theta$ y $\theta \pm 60^\circ,$ así que las otras dos pendientes son $\begin{aligned} &\tan(\theta \pm 60^\circ) = \dfrac{2 \pm \sqrt3}{1 \mp 2\sqrt3} \\ &= -\dfrac{8 \pm 5\sqrt3}{11}. \end{aligned}$

La suma de las tres pendientes es $2 - \dfrac{8 + 5\sqrt3}{11}$ $- \dfrac{8 - 5\sqrt3}{11} =$ $\dfrac{22 - 16}{11} = \dfrac{6}{11}.$

Así $a + b + c = \dfrac12 \cdot \dfrac{6}{11} = \dfrac{3}{11},$ por lo que $m + n = 3 + 11 = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For vertices $(a, a^2), (b, b^2), (c, c^2),$ the slope of a side is $\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b.$ Adding the three side slopes, $\begin{aligned} &(a+b) + (b+c) + (c+a) \\ &= 2(a + b + c) \\ &= 2 \cdot \dfrac{m}{n}. \end{aligned}$

One side has slope $2 = \tan\theta.$ Because the triangle is equilateral, its sides make angles $\theta$ and $\theta \pm 60^\circ,$ so the other two slopes are $\begin{aligned} &\tan(\theta \pm 60^\circ) = \dfrac{2 \pm \sqrt3}{1 \mp 2\sqrt3} \\ &= -\dfrac{8 \pm 5\sqrt3}{11}. \end{aligned}$

The sum of the three slopes is $2 - \dfrac{8 + 5\sqrt3}{11}$ $- \dfrac{8 - 5\sqrt3}{11} =$ $\dfrac{22 - 16}{11} = \dfrac{6}{11}.$

Thus $a + b + c = \dfrac12 \cdot \dfrac{6}{11} = \dfrac{3}{11},$ so $m + n = 3 + 11 = 14.$

Thus, the correct answer is A.

25.

Seis hormigas se paran simultáneamente en los seis vértices de un octaedro regular, cada hormiga en un vértice distinto. Simultánea e independientemente, cada hormiga se mueve de su vértice a uno de los cuatro vértices adyacentes, cada uno con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos hormigas que lleguen al mismo vértice?

Six ants simultaneously stand on the six vertices of a regular octahedron, with each ant at a different vertex. Simultaneously and independently, each ant moves from its vertex to one of the four adjacent vertices, each with equal probability. What is the probability that no two ants arrive at the same vertex?

$\dfrac{5}{256}$

$\dfrac{21}{1024}$

$\dfrac{11}{512}$

$\dfrac{23}{1024}$

$\dfrac{3}{128}$

Conceptos:probabilidad básica arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Hay $4^6$ combinaciones de movimientos igualmente probables. Etiqueta los vértices $A, B, C, A', B', C',$ donde los vértices con prima son opuestos a los correspondientes sin prima. Una hormiga no puede moverse a su propio vértice ni al opuesto, así que un resultado válido es una permutación $f$ con $f(A) \notin \{A, A'\},$ y análogamente para cada par.

Hay $4 \cdot 3 = 12$ elecciones ordenadas para $(f(A), f(A')).$ De estas, $f(A)$ y $f(A')$ son opuestos en $4$ casos y adyacentes en $8.$

Si $f(A), f(A')$ son opuestos, digamos $B, B',$ entonces $\{f(C), f(C')\} = \{A, A'\}$ y $\{f(B), f(B')\} = \{C, C'\},$ lo que da $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ combinaciones válidas.

Si $f(A), f(A')$ son adyacentes, digamos $B, C,$ entonces uno de $f(B), f(B')$ debe ser $C'$ y hay $4$ elecciones ordenadas para $(f(B), f(B')),$ cada una dejando $2$ para $(f(C), f(C')):$ es decir $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ combinaciones válidas.

Así, la probabilidad es $\dfrac{16 + 64}{4^6} = \dfrac{80}{4096} = \dfrac{5}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are $4^6$ equally likely combinations of moves. Label the vertices $A, B, C, A', B', C',$ where primed vertices are opposite the corresponding unprimed ones. An ant cannot move to its own vertex or the opposite one, so a valid outcome is a permutation $f$ with $f(A) \notin \{A, A'\},$ and similarly for each pair.

There are $4 \cdot 3 = 12$ ordered choices for $(f(A), f(A')).$ Of these, $f(A)$ and $f(A')$ are opposite in $4$ cases and adjacent in $8.$

If $f(A), f(A')$ are opposite, say $B, B',$ then $\{f(C), f(C')\} = \{A, A'\}$ and $\{f(B), f(B')\} = \{C, C'\},$ giving $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ valid combinations.

If $f(A), f(A')$ are adjacent, say $B, C,$ then one of $f(B), f(B')$ must be $C'$ and there are $4$ ordered choices for $(f(B), f(B')),$ each leaving $2$ for $(f(C), f(C')):$ that is $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ valid combinations.

Hence the probability is $\dfrac{16 + 64}{4^6} = \dfrac{80}{4096} = \dfrac{5}{256}.$

Thus, the correct answer is A.