Question

Un entero positivo $n$ tiene $60$ divisores y $7n$ tiene $80$ divisores. ¿Cuál es el mayor entero $k$ tal que $7^k$ divide a $n$ ?

A positive integer $n$ has $60$ divisors and $7n$ has $80$ divisors. What is the greatest integer $k$ such that $7^k$ divides $n?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Escribe $n = 7^k Q$ con $Q$ no divisible por $7$ ; sea $d$ el número de divisores de $Q$ .

Write $n = 7^k Q$ with $Q$ not divisible by $7$ ; let $d$ be the number of divisors of $Q$

Pista grande:

Entonces $n$ tiene $(k+1)d$ divisores y $7n$ tiene $(k+2)d$ divisores.

Then $n$ has $(k+1)d$ divisors and $7n$ has $(k+2)d$ divisors

Solución:

Escribe $n = 7^k Q$ donde $Q$ no es divisible por $7,$ y sea $d$ el número de divisores de $Q.$ Entonces $n$ tiene $(k + 1)d = 60$ divisores y $7n = 7^{k+1}Q$ tiene $(k + 2)d = 80$ divisores.

Dividiendo, $\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,$ así que $3(k + 2) = 4(k + 1),$ lo que da $k = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write $n = 7^k Q$ where $Q$ is not divisible by $7,$ and let $d$ be the number of divisors of $Q.$ Then $n$ has $(k + 1)d = 60$ divisors and $7n = 7^{k+1}Q$ has $(k + 2)d = 80$ divisors.

Dividing, $\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,$ so $3(k + 2) = 4(k + 1),$ giving $k = 2.$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años