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2014 AMC 12A Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Para todo número real x,x, sea ⌊x⌋\lfloor x\rfloor el mayor entero que no excede a x,x, y sea f(x)=⌊x⌋(2014 x−⌊x⌋−1).f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right). El conjunto de todos los números xx tales que 1≤x<20141\le x\lt2014 y f(x)≤1f(x)\le1 es una unión de intervalos disjuntos. ¿Cuál es la suma de las longitudes de esos intervalos?

For every real number x,x, let ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denote the greatest integer not exceeding x,x, and let f(x)=⌊x⌋(2014 x−⌊x⌋−1).f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right). The set of all numbers xx such that 1≤x<20141\le x\lt2014 and f(x)≤1f(x)\le1 is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?

11

log⁡2015log⁡2014\dfrac{\log2015}{\log2014}

log⁡2014log⁡2013\dfrac{\log2014}{\log2013}

20142013\dfrac{2014}{2013}

2014120142014^{\frac{1}{2014}}

Respuesta: A
Conceptos:funciones piso y techologaritmotelescópica
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:

Escribe x=n+rx=n+r con n=⌊x⌋n=\lfloor x\rfloor y 0≤r<1,0\le r\lt1, así que f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right).

Write x=n+rx=n+r with n=⌊x⌋n=\lfloor x\rfloor and 0≤r<1,0\le r\lt1, so f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

Pista grande:

La condición f(x)≤1f(x)\le1 da 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}; suma estas longitudes y telescopa.

The condition f(x)≤1f(x)\le1 gives 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}; sum these lengths and telescope

Solución:

Escribe x=n+rx=n+r con entero nn (1≤n≤20131\le n\le2013) y 0≤r<1.0\le r\lt1. Entonces f(x)=n(2014 r−1),f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right), y f(x)≤1f(x)\le1 se convierte en 2014 r≤1+1n,2014^{\,r}\le1+\dfrac1n, es decir 0≤r≤log⁡2014n+1n.0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.

Cada nn aporta un intervalo de longitud log⁡2014n+1n,\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}, así que el total es ∑n=12013log⁡2014n+1n=log⁡2014 ⁣(21⋅32⋯20142013)=log⁡20142014=1. \begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write x=n+rx=n+r with integer nn (1≤n≤20131\le n\le2013) and 0≤r<1.0\le r\lt1. Then f(x)=n(2014 r−1),f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right), and f(x)≤1f(x)\le1 becomes 2014 r≤1+1n,2014^{\,r}\le1+\dfrac1n, i.e. 0≤r≤log⁡2014n+1n.0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.

Each nn contributes an interval of length log⁡2014n+1n,\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}, so the total is ∑n=12013log⁡2014n+1n=log⁡2014 ⁣(21⋅32⋯20142013)=log⁡20142014=1. \begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

Problema 20#20
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Problema 22#22

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