Question

¿Cuál de los siguientes polinomios tiene la mayor raíz real?

Which of the following polynomials has the greatest real root?

$x^{19} + 2018x^{11} + 1$

$x^{17} + 2018x^{11} + 1$

$x^{19} + 2018x^{13} + 1$

$x^{17} + 2018x^{13} + 1$

$2019x + 2018$

Solución:

Cada polinomio de las opciones A-D no tiene raíz positiva y tiene exactamente una raíz negativa, que está en $(-1, 0)$ (es positivo en $0$ y negativo en $-1$ ) y es creciente allí. En el intervalo $(-1, 0),$ $x^{19} \lt x^{17}$ y $x^{13} \lt x^{11}.$ Aumentar un término hace el polinomio mayor, lo que empuja su raíz hacia la izquierda (menor). Así que los exponentes más pequeños dan la mayor raíz, favoreciendo la opción B ( $x^{17} + 2018x^{11} + 1$ ) sobre A, C y D.

La opción lineal E tiene raíz $-\tfrac{2018}{2019} = -\left(1 - \tfrac{1}{2019}\right),$ muy cerca de $-1;$ evaluar el polinomio de la opción B ahí da un valor negativo, así que la raíz de B está a la derecha de la de E. Por lo tanto B tiene la mayor raíz real.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in $(-1, 0)$ (it is positive at $0$ and negative at $-1$ ) and is increasing there. On the interval $(-1, 0),$ $x^{19} \lt x^{17}$ and $x^{13} \lt x^{11}.$ Increasing a term makes the polynomial larger, which pushes its root to the left (smaller). So the smallest exponents give the greatest root, favoring choice B ( $x^{17} + 2018x^{11} + 1$ ) over A, C, and D.

The linear choice E has root $-\tfrac{2018}{2019} = -\left(1 - \tfrac{1}{2019}\right),$ very close to $-1;$ evaluating the polynomial of choice B there gives a negative value, so B's root lies to the right of E's. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años