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2022 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2022 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Sea SS el conjunto de circunferencias del plano de coordenadas que son tangentes a cada una de las tres circunferencias de ecuaciones x2+y2=4,x^2 + y^2 = 4, x2+y2=64,x^2 + y^2 = 64, y (x−5)2+y2=3.(x - 5)^2 + y^2 = 3. ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias de SS?

Let SS be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations x2+y2=4,x^2 + y^2 = 4, x2+y2=64,x^2 + y^2 = 64, and (x−5)2+y2=3.(x - 5)^2 + y^2 = 3. What is the sum of the areas of all circles in S?S?

48π48\pi

68π68\pi

96π96\pi

102π102\pi

136π136\pi

Respuesta: E
Conceptos:circunferencias tangentesárea del círculoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:

Una circunferencia tangente a las dos circunferencias concéntricas (radios 22 y 88) tiene radio 33 o radio 55.

A circle tangent to both concentric circles (radii 22 and 88) has radius 33 or radius 55

Pista grande:

Las circunferencias de radio 33 tienen centros sobre la circunferencia de radio 5;5; las de radio 55 sobre la circunferencia de radio 3.3. Cuenta cuántas de cada una son también tangentes a la tercera circunferencia.

The radius-33 circles have centers on the circle of radius 5;5; the radius-55 circles on the circle of radius 3.3. Count how many of each are also tangent to the third circle

Solución:

Los dos primeros círculos son concéntricos y tienen radios 22 y 8.8. Un círculo tangente a ambos tiene radio 33 y su centro está a distancia 55 del origen, o tiene radio 55 y su centro está a distancia 33 del origen.

El tercer círculo tiene centro (5,0)(5, 0) y radio 3.\sqrt3. Para cada radio candidato s∈{3,5},s\in\{3,5\}, la tangencia exige que la distancia de su centro a (5,0)(5,0) sea s+3s+\sqrt3 o s−3.s-\sqrt3. Cada uno de estos dos círculos de distancias corta al lugar geométrico correspondiente de los centros en dos puntos simétricos. Por tanto, funcionan exactamente cuatro círculos de radio 33 y cuatro de radio 55.

La suma de sus áreas es 4⋅π(3)2+4⋅π(5)24 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2 =36π+100π=136π.= 36\pi + 100\pi = 136\pi.

Así, la respuesta correcta es E.

The first two circles are concentric with radii 22 and 8.8. A circle tangent to both either has radius 33 with center at distance 55 from the origin, or radius 55 with center at distance 33 from the origin.

The third circle has center (5,0)(5, 0) and radius 3.\sqrt3. For each candidate radius s∈{3,5},s\in\{3,5\}, tangency requires the center’s distance from (5,0)(5,0) to be s+3s+\sqrt3 or s−3.s-\sqrt3. Each of these two distance circles intersects the appropriate center-locus in two symmetric points. Hence exactly four radius-33 circles and four radius-55 circles work.

The sum of the areas is 4⋅π(3)2+4⋅π(5)24 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2 =36π+100π=136π.= 36\pi + 100\pi = 136\pi.

Thus, the correct answer is E.

Problema 20#20
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