Question

Sea $S$ el conjunto de circunferencias del plano de coordenadas que son tangentes a cada una de las tres circunferencias de ecuaciones $x^2 + y^2 = 4,$ $x^2 + y^2 = 64,$ y $(x - 5)^2 + y^2 = 3.$ ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias de $S$ ?

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $x^2 + y^2 = 4,$ $x^2 + y^2 = 64,$ and $(x - 5)^2 + y^2 = 3.$ What is the sum of the areas of all circles in $S?$

$48\pi$

$68\pi$

$96\pi$

$102\pi$

$136\pi$

Solución:

Las dos primeras circunferencias son concéntricas con radios $2$ y $8.$ Una circunferencia tangente a ambas o bien tiene radio $3$ con centro a distancia $5$ del origen, o bien radio $5$ con centro a distancia $3$ del origen.

La tercera circunferencia tiene centro $(5, 0)$ y radio $\sqrt3.$ Al imponer tangencia con ella, funcionan exactamente cuatro de las circunferencias de radio $3$ y cuatro de las de radio $5$ (dos tipos de tangencia, cada uno dando un par simétrico).

La suma de las áreas es $4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2$ $= 36\pi + 100\pi = 136\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first two circles are concentric with radii $2$ and $8.$ A circle tangent to both either has radius $3$ with center at distance $5$ from the origin, or radius $5$ with center at distance $3$ from the origin.

The third circle has center $(5, 0)$ and radius $\sqrt3.$ Imposing tangency with it, exactly four of the radius- $3$ circles and four of the radius- $5$ circles work (two tangency types, each giving a symmetric pair).

The sum of the areas is $4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2$ $= 36\pi + 100\pi = 136\pi.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años