Question

La media aritmética de dos enteros positivos distintos $x$ y $y$ es un entero de dos dígitos. La media geométrica de $x$ y $y$ se obtiene invirtiendo las cifras de la media aritmética. ¿Cuánto vale $|x-y|$ ?

The arithmetic mean of two distinct positive integers $x$ and $y$ is a two-digit integer. The geometric mean of $x$ and $y$ is obtained by reversing the digits of the arithmetic mean. What is $|x-y|?$

$24$

$48$

$54$

$66$

$70$

Solución:

Sea la media aritmética $10a+b$ y la media geométrica $10b+a.$ Entonces $x+y=2(10a+b)$ y $xy=(10b+a)^2.$

Por lo tanto $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Esto es un cuadrado perfecto exactamente cuando $a+b=11$ y $a-b$ es un cuadrado perfecto. Entre las soluciones con dígitos, solo $a-b=1$ funciona, lo que da $(a,b)=(6,5).$

Entonces $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ así que $|x-y|=66.$ (En efecto, $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the arithmetic mean be $10a+b$ and the geometric mean be $10b+a.$ Then $x+y=2(10a+b)$ and $xy=(10b+a)^2.$

Therefore $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ This is a perfect square exactly when $a+b=11$ and $a-b$ is a perfect square. Among digit solutions, only $a-b=1$ works, giving $(a,b)=(6,5).$

Then $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ so $|x-y|=66.$ (Indeed $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años