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2011 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2011 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

El triángulo ABCABC tiene AB=13,AB=13, BC=14,BC=14, y AC=15.AC=15. Los puntos D,D, E,E, y FF son los puntos medios de AB,AB, BC,BC, y ACAC respectivamente. Sea X≠EX\ne E la intersección de las circunferencias circunscritas de △BDE\triangle BDE y △CEF.\triangle CEF. ¿Cuánto vale XA+XB+XCXA+XB+XC?

Triangle ABCABC has AB=13,AB=13, BC=14,BC=14, and AC=15.AC=15. The points D,D, E,E, and FF are the midpoints of AB,AB, BC,BC, and ACAC respectively. Let X≠EX\ne E be the intersection of the circumcircles of △BDE\triangle BDE and △CEF.\triangle CEF. What is XA+XB+XC?XA+XB+XC?

2424

14314\sqrt{3}

1958\dfrac{195}{8}

129714\dfrac{129\sqrt{7}}{14}

6924\dfrac{69\sqrt{2}}{4}

Respuesta: C
Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradioángulo inscritoFórmula de Herón
Nivel de dificultad: 2220
Pista pequeña:

Usa los segmentos medios paralelos y el Teorema del Ángulo Inscrito para mostrar que XX es equidistante de A,A, B,B, CC.

Use the parallel midsegments and the Inscribed Angle Theorem to show XX is equidistant from A,A, B,B, CC

Pista grande:

XX es el circuncentro, así que XA+XB+XC=3RXA+XB+XC=3R donde R=abc4⋅[ABC]R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}.

XX is the circumcenter, so XA+XB+XC=3RXA+XB+XC=3R where R=abc4⋅[ABC]R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}

Solución:

Como DE∥ACDE\parallel AC y EF∥AB,EF\parallel AB, obtenemos ∠BDE=∠BAC=∠EFC.\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC. Por el teorema del ángulo inscrito, ∠BXE=∠BDE\angle BXE=\angle BDE y ∠EXC=∠EFC,\angle EXC=\angle EFC, de modo que ∠BXE=∠EXC.\angle BXE=\angle EXC. Junto con BE=EC,BE=EC, esto obliga a que XB=XC.XB=XC.

Además, ∠BXC=2∠BAC.\angle BXC=2\angle BAC. La fórmula de la cuerda en △BXC\triangle BXC da BC=2XBsin⁡(∠BAC),BC=2XB\sin(\angle BAC), mientras que la misma fórmula en △ABC\triangle ABC da BC=2Rsin⁡(∠BAC).BC=2R\sin(\angle BAC). Por tanto, XB=XC=R.XB=XC=R. El punto de este lado de BCBC que está a distancia RR de BB y de CC es el circuncentro de △ABC,\triangle ABC, así que XA=XB=XC=R.XA=XB=XC=R.

El área del triángulo 1313-1414-1515 es 8484 por la fórmula de Herón, por lo que R=13⋅14⋅154⋅84=658, R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8}, y XA+XB+XC=3R=1958.XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since DE∥ACDE\parallel AC and EF∥AB,EF\parallel AB, we get ∠BDE=∠BAC=∠EFC.\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC. By the Inscribed Angle Theorem, ∠BXE=∠BDE\angle BXE=\angle BDE and ∠EXC=∠EFC,\angle EXC=\angle EFC, so ∠BXE=∠EXC.\angle BXE=\angle EXC. With BE=EC,BE=EC, this forces XB=XC.XB=XC.

Also ∠BXC=2∠BAC.\angle BXC=2\angle BAC. The chord formula in △BXC\triangle BXC gives BC=2XBsin⁡(∠BAC),BC=2XB\sin(\angle BAC), while the same formula in △ABC\triangle ABC gives BC=2Rsin⁡(∠BAC).BC=2R\sin(\angle BAC). Thus XB=XC=R.XB=XC=R. The point at distance RR from both BB and CC on this side of BCBC is the circumcenter of △ABC,\triangle ABC, so XA=XB=XC=R.XA=XB=XC=R.

The area of the 1313-1414-1515 triangle is 8484 by Heron’s formula, so R=13⋅14⋅154⋅84=658, R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8}, and XA+XB+XC=3R=1958.XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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