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2024 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Supón que A,A, B,B, y CC son puntos en el plano con AB=40AB = 40 y AC=42,AC = 42, y sea xx la longitud del segmento desde AA hasta el punto medio de BC‾.\overline{BC}. Define una función ff tomando f(x)f(x) como el área de △ABC.\triangle ABC. Entonces el dominio de ff es un intervalo abierto (p,q),(p, q), y el valor máximo rr de f(x)f(x) ocurre en x=s.x = s. ¿Cuánto vale p+q+r+sp + q + r + s?
Suppose A,A, B,B, and CC are points in the plane with AB=40AB = 40 and AC=42,AC = 42, and let xx be the length of the line segment from AA to the midpoint of BC‾.\overline{BC}. Define a function ff by letting f(x)f(x) be the area of △ABC.\triangle ABC. Then the domain of ff is an open interval (p,q),(p, q), and the maximum value rr of f(x)f(x) occurs at x=s.x = s. What is p+q+r+s?p + q + r + s?
909909
910910
911911
912912
913913
Respuesta: C
Conceptos:mediana (geometría)desigualdad triangularoptimización
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:
La mediana satisface x2=2⋅402+2⋅422−a24,x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4}, donde a=BC;a = BC; la desigualdad triangular 2<a<822 \lt a \lt 82 determina el dominio.
The median satisfies x2=2⋅402+2⋅422−a24,x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4}, where a=BC;a = BC; the triangle inequality 2<a<822 \lt a \lt 82 determines the domain
Pista grande:
El área es máxima cuando ∠A=90∘;\angle A = 90^\circ; encuentra esa área máxima y el xx correspondiente.
The area is largest when ∠A=90∘;\angle A = 90^\circ; find that maximum area and the corresponding xx
Solución:
Sea a=BC.a = BC. La longitud de la mediana da x2x^2 =2⋅1600+2⋅1764−a24= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4} =6728−a24.= \dfrac{6728 - a^2}{4}. La desigualdad triangular requiere 2<a<82,2 \lt a \lt 82, es decir 4<a2<6724,4 \lt a^2 \lt 6724, lo que se traduce en 1<x<41.1 \lt x \lt 41. Así que (p,q)=(1,41).(p, q) = (1, 41).
Con AB=40AB = 40 y AC=42AC = 42 fijos, el área 12⋅40⋅42sin⁡A\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A es máxima cuando ∠A=90∘,\angle A = 90^\circ, dando r=840.r = 840. Entonces a2=402+422=3364,a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364, así que x2=6728−33644=841,x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841, es decir s=29.s = 29.
Así p+q+r+sp + q + r + s =1+41+840+29= 1 + 41 + 840 + 29 =911.= 911.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let a=BC.a = BC. The median length gives x2x^2 =2⋅1600+2⋅1764−a24= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4} =6728−a24.= \dfrac{6728 - a^2}{4}. The triangle inequality requires 2<a<82,2 \lt a \lt 82, i.e. 4<a2<6724,4 \lt a^2 \lt 6724, which translates to 1<x<41.1 \lt x \lt 41. So (p,q)=(1,41).(p, q) = (1, 41).
With AB=40AB = 40 and AC=42AC = 42 fixed, the area 12⋅40⋅42sin⁡A\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A is largest when ∠A=90∘,\angle A = 90^\circ, giving r=840.r = 840. Then a2=402+422=3364,a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364, so x2=6728−33644=841,x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841, i.e. s=29.s = 29.
Thus p+q+r+sp + q + r + s =1+41+840+29= 1 + 41 + 840 + 29 =911.= 911.
Thus, the correct answer is C.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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