Question

Supón que $A,$ $B,$ y $C$ son puntos en el plano con $AB = 40$ y $AC = 42,$ y sea $x$ la longitud del segmento desde $A$ hasta el punto medio de $\overline{BC}.$ Define una función $f$ tomando $f(x)$ como el área de $\triangle ABC.$ Entonces el dominio de $f$ es un intervalo abierto $(p, q),$ y el valor máximo $r$ de $f(x)$ ocurre en $x = s.$ ¿Cuánto vale $p + q + r + s$ ?

Suppose $A,$ $B,$ and $C$ are points in the plane with $AB = 40$ and $AC = 42,$ and let $x$ be the length of the line segment from $A$ to the midpoint of $\overline{BC}.$ Define a function $f$ by letting $f(x)$ be the area of $\triangle ABC.$ Then the domain of $f$ is an open interval $(p, q),$ and the maximum value $r$ of $f(x)$ occurs at $x = s.$ What is $p + q + r + s?$

$909$

$910$

$911$

$912$

$913$

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

La mediana satisface $x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},$ donde $a = BC;$ la desigualdad triangular $2 \lt a \lt 82$ determina el dominio.

The median satisfies $x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},$ where $a = BC;$ the triangle inequality $2 \lt a \lt 82$ determines the domain

Pista grande:

El área es máxima cuando $\angle A = 90^\circ;$ encuentra esa área máxima y el $x$ correspondiente.

The area is largest when $\angle A = 90^\circ;$ find that maximum area and the corresponding $x$

Solución:

Sea $a = BC.$ La longitud de la mediana da $x^2$ $= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}$ $= \dfrac{6728 - a^2}{4}.$ La desigualdad triangular requiere $2 \lt a \lt 82,$ es decir $4 \lt a^2 \lt 6724,$ lo que se traduce en $1 \lt x \lt 41.$ Así que $(p, q) = (1, 41).$

Con $AB = 40$ y $AC = 42$ fijos, el área $\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A$ es máxima cuando $\angle A = 90^\circ,$ dando $r = 840.$ Entonces $a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,$ así que $x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,$ es decir $s = 29.$

Así $p + q + r + s$ $= 1 + 41 + 840 + 29$ $= 911.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a = BC.$ The median length gives $x^2$ $= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}$ $= \dfrac{6728 - a^2}{4}.$ The triangle inequality requires $2 \lt a \lt 82,$ i.e. $4 \lt a^2 \lt 6724,$ which translates to $1 \lt x \lt 41.$ So $(p, q) = (1, 41).$

With $AB = 40$ and $AC = 42$ fixed, the area $\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A$ is largest when $\angle A = 90^\circ,$ giving $r = 840.$ Then $a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,$ so $x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,$ i.e. $s = 29.$

Thus $p + q + r + s$ $= 1 + 41 + 840 + 29$ $= 911.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años