Question

Un trapecio tiene lados de longitudes $3,$ $5,$ $7,$ y $11.$ La suma de todas las áreas posibles del trapecio puede escribirse en la forma $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,$ donde $r_1,$ $r_2,$ y $r_3$ son números racionales y $n_1$ y $n_2$ son enteros positivos no divisibles por el cuadrado de un primo. ¿Cuál es el mayor entero menor o igual que $r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2$ ?

A trapezoid has side lengths $3,$ $5,$ $7,$ and $11.$ The sum of all the possible areas of the trapezoid can be written in the form of $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,$ where $r_1,$ $r_2,$ and $r_3$ are rational numbers and $n_1$ and $n_2$ are positive integers not divisible by the square of a prime. What is the greatest integer less than or equal to $r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2?$

$57$

$59$

$61$

$63$

$65$

Solución:

Para un trapecio con lados paralelos $a\lt c$ y lados oblicuos $b,d,$ trasladar un lado oblicuo forma un triángulo con lados $b,$ $d,$ y $c-a.$ La desigualdad triangular obliga a que el lado paralelo más largo sea $c=11.$

Si $a=3,$ el triángulo tiene lados $5,7,8$ con área $10\sqrt3,$ y el trapecio tiene área $\tfrac{35}{2}\sqrt3.$ Si $a=5,$ el triángulo tiene lados $3,6,7$ con área $4\sqrt5,$ lo que da un área del trapecio de $\tfrac{32}{3}\sqrt5.$ Si $a=7,$ el triángulo tiene lados $3,4,5,$ un triángulo rectángulo, lo que da un área del trapecio de $27.$

El total es $\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27,$ así que $\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16. \end{gathered}$

El mayor entero menor o igual que este valor es $63.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a trapezoid with parallel sides $a\lt c$ and legs $b,d,$ translating a leg forms a triangle with sides $b,$ $d,$ and $c-a.$ The triangle inequality forces the longer parallel side to be $c=11.$

If $a=3,$ the triangle has sides $5,7,8$ with area $10\sqrt3,$ and the trapezoid has area $\tfrac{35}{2}\sqrt3.$ If $a=5,$ the triangle has sides $3,6,7$ with area $4\sqrt5,$ giving trapezoid area $\tfrac{32}{3}\sqrt5.$ If $a=7,$ the triangle has sides $3,4,5,$ a right triangle, giving trapezoid area $27.$

The total is $\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27,$ so $\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16. \end{gathered}$

The greatest integer at most this value is $63.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años